01 Os Elementos De Euclides

Páginas: 10 (2429 palavras) Publicado: 3 de maio de 2015
A Geometria Plana de Euclides

Geometria 2
(Geometria no Espa¸co)
Nilton Barroso

1

Alexandria, 300 a.C.

2

Magnun Opus: Elementos

3

Com o seu trabalho Euclides
buscou formalizar e ampliar o
conhecimento geom´etrico que
havia at´e aquele momento;

4

M´etodo axiom´atico.

Universidade de Bras´ılia - UnB

26 de agosto de 2014

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Nilton Barroso (UnB)

Geometria 2

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Nilton Barroso (UnB)

Geometria 2

26 de agosto de 2014

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Premissas (expl´ıcitas) de Euclides
Postulados

No¸c˜
oes Comuns

´ poss´ıvel desenhar uma reta passando por dois pontos dados;
P.1 E
´ poss´ıvel produzir uma linha reta finita a partir de uma linha reta;
P.2 E
´ poss´ıvel desenhar um c´ırculo com centro em qualquer ponto e com
P.3 E
qualquer raio;
P.4 Todos os ˆangulos retoss˜ao iguais;
P.5 Se uma linha reta intercepta duas outras linhas retas e determina de
um mesmo lado ˆangulos internos cuja soma ´e menor que dois ˆangulos
retos, ent˜ao essas duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente,
encontrar-se-˜ao no lado que est˜ao os ˆangulos cuja soma ´e menor que
dois ˆangulos retos.

A.1 Objetos que s˜ao iguais a uma mesma coisa s˜ao iguais entre si;
A.2 Se a iguaiss˜ao adicionados iguais os totais ser˜ao iguais;
A.3 Se de iguais subtra´ımos iguais os restos ser˜ao iguais;
A.4 Se um objeto coincide com outro objeto ent˜ao esses objetos s˜ao
iguais;
A.5 O todo ´e maior que a parte.

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Nilton Barroso (UnB)

Geometria 2

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Nilton Barroso (UnB)

Geometria 2

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Defini¸c˜
oes
D.1 Um ponto ´e algo que n˜aotem partes;
D.2 Uma linha ´e um comprimento sem largura;
D.10 Quando uma linha reta intercepta uma segunda linha reta e forma
ˆangulos adjacentes iguais cada um desses ˆangulos ´e um ˆangulo reto;
D.15 Um c´ırculo ´e uma figura plana limitada por uma linha tal que todas
as linhas retas que a interceptam e partem de um ponto no interior da
figura (centro do c´ırculo) s˜ao iguais;
D.19 Uma figuraretil´ınea ´e uma figura limitada por linhas retas; triˆangulos
s˜ao aquelas limitadas por trˆes linhas retas e quadril´ateros aquelas que
s˜ao limitadas por quatro linhas retas;
D.23 Linhas retas paralelas s˜ao linhas retas tais que, estando no mesmo
plano e sendo prolongadas indefinidamente em ambas as dire¸c˜oes, n˜ao
se interceptam.
N.B. As defini¸c˜oes de Euclides s˜ao vagas e imprecisas.Talvez por esse
motivo ele absteve-se de us´a-las em todo o seu trabalho.
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Nilton Barroso (UnB)

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Pr.18 Em qualquer triˆangulo a soma de dois ˆangulos quaisquer ´e menor que
dois ˆangulos retos;
Pr.20 Em um triˆangulo a soma de dois lados quaisquer ´e maior que o
terceiro;
Pr.27 Se uma linha reta intercepta duas linhas retas determinando ˆangulos
internosalternos iguais, ent˜ao essas duas linhas retas s˜ao paralelas;
Pr.28 Se uma linha reta intercepta duas outras linhas retas e determina um
ˆangulo externo igual a um ˆangulo interno oposto do mesmo lado ou
ˆangulos interiores do mesmo lado iguais a dois ˆangulos retos ent˜ao
essas duas linhas retas s˜ao paralelas;
Pr.29 Se uma linha reta intercepta duas linhas retas paralelas ent˜ao ela
forma ˆangulosalternos internos iguais, um ˆangulo exterior ´e igual ao
ˆangulo interior oposto e a soma dos ˆangulos interiores do mesmo lado
´e igual a dois ˆangulos retos;
Pr.47 Em triˆangulos que possuem um ˆangulo reto, o quadrado do lado que
subtende o ˆangulo reto ´e igual `a soma dos quadrados dos lados
restantes;

Proposi¸c˜
oes (Livro I)
Pr.1 Em uma linha reta finita construir um triˆanguloequil´atero;
Pr.3 Dadas duas linhas retas diferentes, cortar do segmento maior um
segmento igual ao segmento menor;
Pr.4 (Congruˆencia LAL) Se dois triˆangulos tˆem dois lados iguais
respectivamente e tˆem o ˆangulo determinado por esses lados iguais
eles tamb´em ter˜ao a mesma base, os ˆangulos restantes ser˜ao iguais
entre si e os triˆangulos ser˜ao iguais ;
Pr.10 Dividir ao meio uma linha reta...
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