Método do bisecção

1) Introdução

Formulário:

A seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigénio c num rio, em função da distância x, medida a partir do local de descarga de poluentes:

c(x) = 10 − 20 * (e-0.2x – e-0.75x)

Calcule a distância para a qual o nível de oxigénio desce para o valor 5, 4 e 3.

Para resolvermos este tipo de equações não lineares teremos de aplicar métodos iterativos neste caso irei aplicar o método da bissecção que consiste em encontrar as raízes de cada uma das equações e para isso iremos ter de fazer uma mudança de variável ou seja: c → f

Pretende-se então resolver: f(x) = 5 f(x) = 4 f(x) = 3

Para isso coloca-se a expressão na forma f(x) = 0 ,i.e., passando o 5, 4, e o 3 para o primeiro membro igualando a função a 0.

Então iremos ter três equações distintas:

● Para f(x) = 5 ; c(x) = 10 − 20 * (e-0.2x – e-0.75x)-5 = 0;

● Para f(x) = 4 ; c(x) = 10 − 20 * (e-0.2x – e-0.75x)-4 = 0;

● Para f(x) = 3 ; c(x) = 10 − 20 * (e-0.2x – e-0.75x)-3 = 0
2) Modelação do Problema

Como temos três equações diferentes logicamente iremos ter também três gráficos que representam cada uma das diferentes equações, e em cada um deles irão existir dois zeros. Ou seja, para f(x)=5 iremos ter duas soluções e o mesmo irá suceder para f(x)=4 e para f(x)=3.

Grafico1 → c(x) = 10 − 20 * (e-0.2x – e-0.75x)-5 = 0;

Grafico2 → c(x) = 10 − 20 * (e-0.2x – e-0.75x)-4 = 0;

Grafico3 → c(x) = 10 − 20 * (e-0.2x – e-0.75x)-3 = 0;

3) Métodos Numéricos

Como já referi o método que irei utilizar para a terminação da solução (raízes) será o método da bissecção. Para as determinarmos temos de as localizar e para isso temos de traçar o gráfico da função (como já fiz anteriormente), e assim podemos ter uma ideia aproximada da localização das raízes, para assegurarmos rigorosamente que, num determinado intervalo, existe uma e uma só raiz. Assim vamos definir um intervalo e