Soluções Aproximadas

5. Soluções Aproximadas
Transcendentais

de

Equações

Algébricas

e

5.1 Isolamento de Raízes

Equation Chapter 5 Section 1Se uma equação algébrica ou transcendental for, em geral, complicada, normalmente não se pode encontrar suas raízes exatas. Assim, são importantes os métodos de 1 aproximação de uma raiz e a estimativa de seu grau de precisão.
Seja então uma equação qualquer

f  x  0 ,

definida e contínua em um

intervalo  a, b , isto é, f  x   C a, b .
Em determinados casos é necessário que se garanta a continuidade, também, da primeira derivada f   x  e da segunda derivada f   x  . Assim, precisa-se que a função f  x   0 seja definida em um espaço

C2 a, b .

A cada valor de x , onde a função é identicamente nula, denomina-se zero ou raiz da equação. Assim, se em um determinado x   , a função f  x  for nula,  é uma raiz dela.
Assumir-se-á que as raízes de f  x  são isoladas, isto é, para cada raiz de f  x  existe uma vizinhança V  , r  em que não existe nenhuma outra raiz.
Teorema 1: Se uma função contínua

y  f  x

assume valores opostos

em sinal nos pontos extremos de um intervalo a, b , isto é, se f  a   f b  0 , então no intervalo existirá no mínimo uma raiz da equação f  x   0 .
Teorema 2: Seja  uma raiz exata e x uma raiz aproximada da equação f  x   0 , ambas localizadas em algum intervalo  a, b e seja f   x   m  0 para a  x b.

Então a seguinte estimativa permanece verdadeira:

x  

f  x  m (Prove como exercício. Sugestão: Use o teorema do valor médio)
Seqüências de Sturm

O isolamento das raízes é importante, como já se viu acima. Outro procedimento de fazer isso é pelo estabelecimento de seqüências de
Sturm. Seja então a equação a ser resolvida f  x   0 diferenciável no 3
0

segmento a, b . Então as funções contínuas f 0  x  , f1  x  ,

, fm  x 

formam uma seqüência de Sturm

fk

(5.1.1) m k 0