minimosquadrados

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ANEXO IV

MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Se um certo número de medidas é realizado de uma mesma quantidade física e se estas medidas estão sujeitas a erros aleatórios apenas, então a teoria dos mínimos quadrados estabelece que o valor mais provável da quantidade medida é aquele que faz a soma dos quadrados dos erros um mínimo.
Este teorema pode ser aplicado ao caso particular em que se pretende ajustar uma linha reta a um conjunto de pares experimentais.
Suponha que são realizadas várias medidas das grandezas x e obtendo-se um conjunto de pontos x1 y1 , x 2 y 2, x 3 y 3 ,......., x n y n , sendo y uma y, variável aleatória relacionada a x pela equação de uma reta.

y = a⋅x + b

(1)

A equação acima representa o valor esperado (ou valor mais provável) para a variável y, ver figura 1.

y

x

Fig. 1

129
As estimativas de mínimos quadrados das constantes a e b são então aqueles valores de a e b que tornam mínima a expressão.

∑ ε 2 = ∑ (y i − (a ⋅x i + b)) i 1 i n

n

2

(2)

Pode-se notar facilmente que a expressão acima representa a soma dos quadrados das discrepâncias (ou diferenças) entre o valor observado yi e o valor esperado para y = a ⋅ x + b , ver figura 1.
Os melhores valores para as constantes a e b podem então ser encontrados diferenciando-se a equação 2 com respeito a a e b, respectivamente, e igualando-se os resultados a zero (condição de mínimo). n ∂ y − (a ⋅ x + b)
∂∑ ε 2
[ i
] = −2 n x ⋅ y − a ⋅ x 2 − b ⋅ x = 0 i i
=∑
∑[ i i i i]
∂a
∂a i i
2

∂∑ε 2 i ∂b

∂ [ y i − (a ⋅ x i + b) ]

n

=∑

∂b

i

2

(3)

n

= −2 ∑ [ y i − a ⋅ x 2 − b ] = 0 i (4)

i

Das equações 3 e 4 obtemos então as equações normais: n n

n

i

i

i

∑ xi . y i = b∑ x i + a∑ x2i n n

n

i

i

(5)

i

∑ y i = b ∑ x i + a∑ x i

(6)

Pela resolução simultânea das equações 5 e 6 para a e b obtemos: a= ∑ x ∑ y − n ∑(x ⋅ y )
( ∑ x ) − n∑ x i i

i