lista de Fourier

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
CENTRO DAS ENGENHARIAS
Disciplina:

Análise Vetorial e de Fourier Prof.: Germán Suazo
Gabarito da Lista de Exercícios

1. Encontre as séries de Fourier das extensões periódicas das funções definidas em [0,2π ] , tanto na forma exponencial complexa como na forma trigonométrica (envolvendo senos e co-senos):
a. f (t ) = sen 3 (t ) ;
b. f (t ) = sen 3 (t ) ; f (t ) = t 2 , mediante a definição e também, integrando a série para f (t ) = t ;

c.

d. f (t ) = et .
Solução:
Considerando a extensão periódica (de período T0 = 2π ) de f (t ) em [0,2π ] ,
∞

temos que sua série de Fourier na forma complexa é f (t ) =

∑c e k i k ω0 t

onda

k = −∞

a freqüência fundamental é ω0 = por ck =

1
T0

∫

T0

0

1 e os coeficientes da série estão dados
T0

f (t ) ⋅ e− i k ω0 t dt . Também temos a série de Fourier na forma
∞

trigonométrica f (t ) = a0 + ∑ (ak cos(kω0t ) + bk sen(kω0t ) ) , onde os coeficientes k =1

1 T0
2 T0 estão dados por a0 = ∫ f (t )dt = c0 , ak = ∫ f (t ) ⋅ cos(kω0t )dt = 2ℜ(ck ) e
0
T0
T0 0
2 T0 bk = ∫ f (t ) ⋅ sen (kω0t )dt = −2ℑ(ck ) , para k ≥ 1 . Destas últimas expressões,
T0 0
1
temos que c0 = a0 e ck = ⋅ (ak − ibk ) .
2
a. Observando a extensão periódica da função f (t ) = sen 3 (t ) , vemos que é uma função trigonométrica ímpar (veja o gráfico), e parece melhor calcular a forma trigonométrica da série de Fourier:

1 T0
1 2π f (t ) dt = sen 3 (t ) dt = 0 , pois f (t ) é ímpar;
∫
∫
0
0
T0
2π
T
2 0 ak = ∫ f (t ) ⋅ cos(kω0t )dt = 0 , pois f (t ) ⋅ cos(kω0t ) é impar; e
T0 0
2 T0 bk = ∫ f (t ) ⋅ sen ( kω0t )dt = 0 , para k ≠ 1 e k ≠ 3 , mas
T0 0
2 T0
1 2π
3
b1 = ∫ f (t ) ⋅ sen(kω0t )dt = ∫ sen 4 (t )dt = , e
0
0
T0
π
4
T
2
π
2 0
1
1 b3 = ∫ f (t ) ⋅ sen (3ω0t ) dt = ∫ sen 3 (t )sen (3t )dt = − .
0
0
T0
π
4
3
1
Desta maneira, temos f (t ) = sen 3 (t ) = sen (t ) − sen (3t ) , (que
4
4 coincide com a identidade