Lista de exercícios: Regra de L'hopital

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Capítulo 9 C o m p o r t a m e n t o das funçõ

D a d a a importância deste resultado, vamos reescrevê-lo com a variável x em lugar de t:

lim

)

( 1 -f -

x-~>+oo \ /

=

lim

(l-h -

)

= e.

(9.3

X—>-oo \

Isto é conseqiiência imediata de (9.2).

Exercícios
Utilize as regras de L'Hôpital para calcular os limites indicados nos Exercícios 1 a 29.
1. l i m x-*o - 1 l n ( l + x)'

4. l i m

X - . 2 x'^ ~5x

_

7.

hm

x-^a+

10. l i m x-^o 13. l i m

x-*o+

16.

l— im x-*oc

X

-

1 - cos X

2. lim x^o 5. l i m

+ 6'

x^a

Jãx

^ „ , a > 0.

X'^ — a''

tan X
X

x2-a2
X^

8. l i m

lim

6. l i m sen X

~ a^'

x-*a

Inx

In tan x

12. l i m

tanx "

2e^ -hx^ I n x
^
=. Nao use a regra de L'Hôpital!

sen a

X — a

ln(x2 - X ln(x2 -

x^2+

14. l i m ( x l n x ^ ) .

In sen x '

—

X

tan X - X
9. l i m x->o X — senx

-v/x

x-^i X —

11.

senx
3. l i m x-.o± 1 — cos

senx

15.

2)

4)

lim xe

X—» + o o

É mais fácil observar que

é dominante, tanto n

3e^ + x 3 \ / x 2 - I - 1

numerador como no denominador.
17.

l i m xlníe''

18.

- 1).

20. l i m ( l - x ) ^ / ^ .

lim

x->+oo

21. lim

x^±0

23. I i m ( l + a x 2 ) i / ^ ' .

24.

i í f c i ^ .

19. l i m x^iylnx X

1 -

-

Inx

22. l i m

x^0+

lim ( 1 + -

25. l i m (1-1-ax)''/^.

x-^±oo \ /

26.

lim_ [(senx)(Inx)].

29.

lim ( x e ^ / ^ - x ) .

27.

l i m (senx)^.

28.

lim x e ^ / ^ . x^O-l- 30. Mostre que In(lnx) tende a infinito, com x - » -(-oo, mais devagar que o próprio I n x .
3 1 . Mostre que se uma função / ( x ) tende a infinito com x infinito mais devagar ainda que / ( x ) , quando x — a.
>

a, então existe sempre uma função g{x) que tende

32. Mostre que existem funções que tendem a infinito, com x — -Foo, mais rapidamente que e^.
>
33. Mostre que x(lnx)'" —> O