Lista de Exercícios de Algebra Linear

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL – UEMS
Lista de exercícios de Álgebra Linear
Profª. Adriana de Fátima Vilela Biscaro
1. Nos problemas abaixo, verificar quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
a) R3, (x,y,z) + (x’+y’+z’) =(x+x’, y+y’,z+z’) k(x,y,z) = (0,0,0)
b) {(x,2x,3x); x∈ R} com as operações usuais.
2. Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Mostre que W não é subespaço de V, onde W consiste de todas as matrizes com determinante zero.
3. Verificar quais dos problemas abaixo são subespaços vetoriais do R 2 relativamente com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
a) S = {(x, x2)/ y = -x}
b) S = {(x, y)/ x ∈ R}
c) S = {(x, y)/ x + 3y = 0}
d) S = {(x, y)/ y = x +1}
4. Nos problemas abaixo são apresentados subconjuntos de R 3. Verificar quais são subespaços em relação as operações usuais. Para os que não são, citar um contraexemplo.
a) S = {(x,y,z)/ x = 4y e z = 0}
b) S = {(x,y,z)/ z = 2x – y}
c) S = {(x,y,z0/ x = z2}
d) S = {(x,y,z)/ xy = 0}
5. Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2):
𝑎 𝑏
a) S =
;𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑒 𝑑 = 0
𝑐 𝑑
b) S =

𝑎
0

𝑏
; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅} (matrizes triangulares superiores)
𝑐

c) S =

𝑎
𝑏

𝑏
; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅} (matrizes simétricas)
𝑐

d)

𝑎
𝑎−𝑏

𝑎+𝑏
; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅}
𝑏𝑐

e)

𝑎
𝑎

1
; 𝑎, 𝑏, ∈ 𝑅}
𝑏

f)

𝑎
𝑐

𝑏
; 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0}(conjunto de matrizes inversíveis).
𝑑

6. Sejam os vetores u= (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4) em R3.
a) Escrever o vetor w = (7, -11, 2) como combinação linear de u e v.
b) Para que valor de k o vetor (-8, 14, k) é combinação linear de u e v?
c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combinação linear de u e v.
7. Consideremos o espaço P2 = {at2 + bt + c/ a, b , c ∈ R} os vetores p1 = t2 – 2t + 1,

p2 = t + 2, p3 = 2t2 – t.
a) Escrever o vetor p = 5t2 – 5t + 7 como combinação linear de p1 , p2 e p3.
b) Escrever o vetor