Lista de exercicios

Pontif´ ıcia Universidade Cat´lica de Minas Gerais o
Quinta Lista de Equa¸˜es Diferenciais co Professora: Daniela Gomes Quest˜o 1. Resolva a equa¸˜o diferencial ou problema de valor inicial usando o m´todo dos a ca e coeficientes indeterminados. (a) y + 3y + 2y = x2 . (b) y − 2y = sen(4x). (c) y − 4y + 5y = e−x .
3 Resp.: y = c1 e−2x + c2 e−x + 1 x2 − 2 x + 7 . 2 4

Resp.: y = c1 + c + 2e2x +

1 40

cos(4x) −

1 sen(4x). 20

Resp.: y = e2x (c1 cos x + c2 senx) + Resp.: y =
3 2

1 −x e . 10

(d) y + y = ex + x3 , y(0) = 2, y (0) = 2. (e) y − y = xex , y(0) = 2, y (0) = 1.

cos x +

11 senx 2

+ 1 ex + x3 − 6x. 2

Resp.: y = ex ( 1 x2 − x + 2). 2

Quest˜o 2. Resolva os seguintes problemas de valor inicial. a (a) y − 2y − 3y = 6et ; y (0) = 1, y (0) = 3. (b) y + y = t; y (0) = 1, y (0) = 0. Resp. : y(t) = 3 e−t − 3et + 5 e3t . 2 2

Resp. : y(t) = t + cos t − sent. Resp. : y(t) = 1 t3 et + 4 − 3et + 4tet . 6 Resp. : y(t) = e3t + 2 e−t − 2 e2t − te2t . 3 3

(c) y − 2y + y = tet + 4; y (0) = 1, y (0) = 1. (d) y − 2y − 3y = 3te2t ; y (0) = 1, y (0) = 0. (e) y + 4y = t2 + 3et , y(0) = 0, y (0) = 2.
1 Resp.: y(t) = − 8 + 1 t2 − 4 19 40

cos(2t) + 3 et + 5

7 sen(2t). 10

(f ) y − 2y + y = tet + 4, y(0) = 1, y (0) = 1.
Resp.: y(t) = 1 t3 et + 4 − 3et + 4tet . 6

(g) y + 4y = 3sen(2t) y(0) = 2, y (0) = −1.
1 Resp.: y(t) = 2 cos(2t) − 8 sen(2t) − 3 t cos(2t). 4

(h) y + 4y = et t, y(0) = 0, y (0) = 0.
Resp.: y(t) = 1 et − 5
1 5

cos(2t) −

1 sen(2t). 10

(i) y − 2y + y = e2t , y(0) = 0, y (0) = 0.
Resp.: y(t) = e2t − et − tet .

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