limites

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
ProfªAna Scardino

LIMITES FINITOS

Dizer que o limite de uma função y = f(x) em um ponto p é um número L, é afirmar que, à medida que x se aproxima de p, os valores da função aproximam-se do nºL. Determinar o limite é verificar o comportamento da função quando x está próximo de um ponto p.
Para determinar o comportamento das funções , podemos construir tabelas de valores que se aproximam à esquerda e à direita do ponto x, procurando concluir para que valor a expressão converge.
Indica-se : lim → ( ) =
Exemplos:
1- Como se comportam os valores da função y = 3x + 1 quando x se aproxima do ponto x=2
A esquerda do ponto x=2
X
Y
1
1,9
1,99
1,999
↓
↓
2
7
À direita do ponto x=2

1

2- Idem para a função y =
A esquerda do ponto x=2
X
Y
1
1,9
1,99
1,999
↓
↓
2
À direita do ponto x=2

lim

(

Outra forma de resolver:
→

=lim

→

)(

)

= lim

→

+2=4

Alguns produtos notáveis úteis:
PRODUTOS NOTÁVEIS

1. Quadrado da soma de dois termos
(a+b)² = a² + b² + 2ab

2. Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)² = a² + b² - 2ab
3. Diferença de potências (ordem 2) a² - b² = (a+b)(a-b)
4. Cubo da soma de dois termos
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

2

5. Cubo da diferença de dois termos
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
6. Soma de dois cubos na forma fatorada a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
7.Diferença de dois cubos na forma fatorada a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²).
Exemplos:

a) lim

3- Idem para as funções:
b) lim

c) lim

d) lim

→
→
→
→

4- Idem para a função y =√ , quando x tende a zero
Verifica-se que é necessária a construção da tabela com valores à esquerda e à direita do valor zero.
A esquerda do ponto x=0
X

Y

↓

3

À direita do ponto x=0
X
Y
1
0,1
0,01
0,001
0,0001

Pode ocorrer que os limites à esquerda e à direita do ponto x=p, forneçam valores distintos. Nesse caso, esses valores são os limites laterais.
Entretanto o limite no