Limites

Ensino Superior

Cálculo 1
1.3- Limites de Expressões Indeterminadas

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 1 - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão da função f(x). No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se faz a substituição direta de x por seu valor de tendência e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou ∞/∞ ou ∞/0). ∞ Veja os casos nos slides seguintes.

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Regras adicionais
1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.

x 2 − 4 2 2 − 4 0 Indeterminação lim = = = x→ 2 x − 2 2−2 0 x2 − 4 ( x − 2 )( x + 2 ) = lim ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4 lim = lim x→ 2 x − 2 x→ 2 x→ 2 x−2

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Regras adicionais
2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais.

1 1 1 = = = Indeterminação lim x→ 2 x − 2 2−2 0 1 1 lim− = −∞ .... e...... lim+ = +∞ . x→ 2 x − 2 x→ 2 x − 2
Portanto o limite não existe

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Regras adicionais
3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞ , são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo.
1o exemplo (função racional):

2x3 + x2 − 5x + 3 2x3 lim = lim = lim 2 x 2 = 2 .( ∞ ) 2 = ∞ x→ ∞ x→ ∞ x x→ ∞ x−2
2o exemplo (função polinomial): x→ ∞

lim ( 5 x 2 − 2 x + 1) = lim ( 5 x 2 ) = 5 .( ∞ ) 2 = ∞ x→ ∞

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Expressões indeterminadas Considere o seguinte limite:

x 3 − 27 lim x →3 x − 3
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já conhecidas