Limite central

lUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus I UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Disciplina: Probabilidade e Estatística (Computação / Elétrica) Período 2012.2 Créditos: 4 (quatro) Professora: Amanda Gomes Aluno(a): . 10a NOTA DE AULA

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Teorema Central do Limite

O principal assunto dessa seção é justificar a aproximação de distribuições de probabilidade através de outras distribuições. Por exemplo, vimos que, podemos aproximar a distribuição de Poisson através da distribuição binomial. Dessa forma, introduziremos noções de convergência para sequências de variáveis aleatórias. Consideremos n variáveis aleatórias X1 , X2 , . . . , Xn definidas em um espaço amostral e suas, respectivas, densidades de probabilidade FX1 (x), FX2 (x), . . . , FXn (x).

1.1

Definição: (Convergência em Distribuição)

Seja X1 , X2 , . . . , uma sequência de variáveis aleatórias, {Xn }n≥1 . A sequência de variáveis aleatórias {Xn }n≥1 converge em distribuição para a variável aleatória X se lim FXn (x) = FX (x),

n→∞

para todo x tal que FX seja contínua em x. Notação: Xn → X. d 1.2

Teorema 1:

Seja X1 , X2 , . . . uma sequência de variáveis aleatórias cujas funções geradoras de momentos φX1 , φX2 , . . . existem. A sequência de variáveis aleatórias {Xn }n≥1 converge em distribuição para a variável aleatória X se, e somente se, lim φXn (t) = φX (t),

n→∞

para todo t ∈ R em que φX (t) é a função geradora de momentos de X. Notação: Xn → X. d 1

1.3

Teorema 2 : Teorema do Limite Central

Seja X1 , X2 , . . . , uma sequência de variáveis aleatórias, {Xn }n≥1 , independentes e identicamente distribuídas com média µ e variância σ 2 . Seja Sn = X1 + X2 + . . . + Xn = n i=1 Xi . Então, Zn = Sn − nµ d √ → Z = N (0, 1). σ n

Observação: Se dividirmos o numerador e o denominador de Zn por n, temos que a média amostral, X, padronizada tem distribuição aproximadamente N (0, 1), ou seja, X −µ d √ → N (0, 1). σ n Exemplos Exemplo 1: Sabe-se que