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Primeira Lista de Exerc´ıcios de SMA300 - Geometria Anal´ıtica (Revis˜ao) - 25.02.2014
Professora: Maria do Carmo Carbinatto





2 1
0
1 1 0
1. Quais das seguintes matrizes A =  0 3 −1  , B =  0 2 2 
1 1
4
1 0 2 vers´ıveis? Quando sua resposta for afirmativa, calcule a matriz inversa.

e

C=

3
7

5
10

s˜ao in-

2. Mostre que:
a) Se A ´e uma matriz n × n invers´ıvel, ent˜ao a matriz x = O (matrix coluna n × 1, identicamente nula) ´e au ´nica solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao matricial A · x = O.
b) Se A ´e uma matriz n × n invers´ıvel, ent˜ao a equa¸c˜ao matricial A · x = b possui uma u
´nica solu¸c˜ao.

 ax + by = k cx + dy = l . Discuta a posi¸c˜ao relativa das retas ax + by = k,
3. Considere o seguinte sistema linear:

ex + f y = m cx + dy = l, ex + f y = m, quando:
a) O sistema acima n˜ ao admite solu¸c˜ ao. b) O sistema admite uma u
´nica solu¸c˜ ao. c) O sistema admite inifinitas solu¸c˜ oes. 4. Determine o conjunto solu¸c˜ ao dos seguintes sistemas de equa¸c˜oes lineares:

x3 = 1
 x1 + x2 −
2x1 + x2 + x3 = 3
2x1 + x2 + 3x3 = 2
(a)
(b) x +
2x
−
3x

1
2
3 = 0 x2 − 5x3 = 1

x2 + x3 =
1
 2x1 − x1 + x2 − x3 = 1 x1 + 2x2 − 3x3 =
0
(c)
(d)
−2x1 − 2x2 + 2x3 = 2

x
−
x
−
2x
=
−3.
1
2
3

 2x1 + 8x2 + 12x3 = 12 x1 + x2 +
4x3 = −3
(e)

3x2 +
2x3 = 9.
5. Em cada um dos sistemas abaixo encontre condi¸c˜oes sobre os n´ umeros reais a, b e c, de modo que o mesmo correspondente tenha respectivamente uma u
´nica solu¸c˜ao, infinitas solu¸c˜oes, e nenhuma solu¸c˜ao:

 2x + y − z = a x − b y = −1 x + b y = −1
2y + 3z = b
a)
b)
c)
x + ay = 3 ax + 2y = 5



 x−z =c
 x + ay = 0
 x + 2y − 4z = 4
 x + ay − z = 1 y + bz = 0
3 x − y + 13 z = 2
−x + (a − 2) y + z = −1
d)
e)
f)


 cx + z = 0
4 x + y + a2 z = a + 3
2 x + 2 y + (a − 2) z = 1


3
6. Considere A =  2
1


−1 1
2 1 .
−3 0


 y1 (a) Para que matrizes Y =  y2  o sistema AX = Y admite solu¸c˜ao? Justifique sua resposta. y3 (b) Para as matrizes Y encontradas no item (a), determine o conjunto