Inversão de matrizes

Inversão de matrizes
Matriz Inversa

É quando o resultado da multiplicação de duas matrizes resulte em uma matriz identidade, ou seja:
AB=BA=1
B é inversa de A e se representa por A-¹:
AA-¹ = A-¹A = I
Matriz Singular

Uma matriz quadrada A = (a i j) cujo determinante é nulo é uma matriz singular.
Exemplo
A matriz
A=
1
4
7

2
5
8

3
6
9

É singular porque det A=
1
4
7

2
5
8
= 0

3
6
9

De fato, desenvolvendo o determinante pela 1ª linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos, vem: det A=
1
4
7

5 8

2 8

2 5

2
5
8
= + 1 x - 4 x + 7 x

3
6
9

6 9

3 9

3 6

det A = 1 x (5 x 9 - 8 x 6) - 4 x (2 x 9 - 8 x 3) + 7 x (2 x 6 - 5 x 3) det A = 1 x (45 - 48) - 4 x (18 - 24) + 7 x (12 - 15) det A = 1 x (-3) - 4 x (- 6) + 7 x (- 3) det A = -3 +24-21 det A = 0

Obs.: A matriz singular não tem inversa.
Matriz Singular

Uma matriz quadrada A = (ai j ) cujo determinante é diferente de zero é um matriz não-singular ou regular.

Exemplo:

A matriz

A=
2
3
1

5
2
2

3
1
3

É uma matriz não-singular, porque o det A é diferente de zero.
De fato, desenvolvendo o determinante pela 1ª linha e observando a alternância dos sinais que precedem os produtos, vem:

det A=
2
3
1

2 2

5 2

5 2

5
2
2
= + 2 x - 3 x + 1 x

3
1
3

1 3

3 3

3 1

det A = 2 x (2 x 3 - 2 x 1) - 3 x (5 x 3 - 2 x 3) + 1 x (5 x 1 - 2 x 3) det A = 2 x (6 - 2) - 3 x (15 - 6) + 1 x (5 - 6) det A = 2 x 4 - 3 x 9 + 1 x (-1) det A = 8 - 27 - 1 det A = -20

A matriz não-singular sempre tem inversa.
Propriedades da matriz inversa

I) Se a matriz A admite inversa (det A ≠ 0), esta é única.
II) Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-¹ também é. A matriz inversa de A-¹ é A.
III) A matriz unidade I é não-singular (det I = I) e é a sua