Propriedades da matriz

Propriedades
Considerando-se uma matriz invertível, esta possui as seguintes propriedades:
1. A matriz inversa é única. Esta propriedade é decorrente de o conjunto das matrizes quadradas nxn com a operação binária de multiplicação de matrizes formar um monoide.
2. A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que a inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz:
3. A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a inversa da transposta é a transposta da inversa:
4. :
5. A inversa duma matriz multiplicada por um número (diferente de zero) é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número.
6. :
7. O inverso do produto de matrizes invertíveis é igual aos produtos das inversas dessas matrizes com a ordem trocada.
8. :
9. Em geral, uma matriz quadrada sobre um anel comutativo é invertível se e somente se o seu determinante é uma unidade do anel.

Pré-multiplicação
A pré-multiplicação é útil quando se quer isolar uma matriz em um lado de uma equação. Por exemplo, sejam A, B e C matrizes, com A invertível, tais que

Para expressar a matriz B em termos das outras duas, basta multiplicar ambos os membros da igualdade pela inversa de A:1

Inversa da matriz identidade
A matriz inversa de uma matriz identidade é sempre igual à própria matriz identidade.

Isso ocorre pois:

Determinação da inversa
Aplicação da definição de inversa
Este método de procura da inversa consiste em partir de uma matriz quadrada genérica, com incógnitas em vez de valores e aplicar a seguinte propriedade:

Exemplo
Se queremos descobrir a inversa da matriz de dimensões 2 x 2 representada abaixo recorremos a uma matriz genérica que nos permitirá multiplicar as matrizes:

Associamos símbolos arbitrariamente à inversa da nossa matriz original – nosso objectivo é determinar os valores de a, b, c e d. Para isso aplicaremos a definição de inversa:

Resolvendo essa multiplicação de matrizes