Introdu O Geometria Anal Tica

Páginas: 6 (1327 palavras) Publicado: 24 de março de 2015
Introdução à Geometria Analítica



 
  
Para começar o estudo da geometria analítica, é necessário conhecer o Plano Cartesiano:

O Eixo Y (linha vertical) é chamado de eixo das ordenadas, enquanto que o Eixo X (linha horizontal), é chamado de eixo das abscissas.
O ponto P (ponto vermelho da figura) possui duas coordenadas: X e Y , que indicam em que lugar dos eixos das ordenadas e abscissas elese encontra. Representa-se isso por (Xp, Yp).Os números romanos  nos cantos mostram os quadrantes do plano cartesiano. Os pontos do eixo X que estão nos quadrantes II e III são negativos, enquanto que em I e IV são positivos. Os valores de Y nos quadrantes I e II são positivos, e nos restantes (III e IV), esses valores são negativos.

Distância entre dois pontos
Se soubermos as coordenadas dedois pontos no plano cartesiano (ponto A e B), é possível determinar a sua distância, utilizando o teorema de Pitágoras (a² = b² + c²)

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA 
Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas XM e YM  do ponto médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais M éponto médio.


Ponto médio de um segmento
Dado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M Î AB tal que AM = BM . Nestas condições, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas do ponto médio 
M(xm , ym) serão dadas por:


Ponto médio
   Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P,  que divide  ao meio, temos:


Assim:


Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:Baricentro de um triângulo
   Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados , respectivamente. Portanto,  são as medianas desse triângulo:

    Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo.
   Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da mediana da quevai do baricentro até o ponto médio do lado.
Veja:


 
Cálculo das coordenadas do baricentro
   Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC) vértices de um triângulo, se N é ponto médio de , temos:


Mas:

Analogamente, determinamos . Assim:


Condições de alinhamento de três pontos
   Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então:

            Para demonstrar esse teoremapodemos considerar três casos:
a) três pontos alinhados horizontalmente

    Neste caso, as ordenadas são iguais:
yA = yB = yC
e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais.
b) três pontos alinhados verticalmente

    Neste caso, as abscissas são iguais:
xA = xB = xC
 e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais.
c) três pontos numa reta não-paralela aoseixos

Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então:

Desenvolvendo, vem:

Como:

então .
Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se , então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC) estão alinhados.
 
Equações de uma reta
Equação geral
   Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.   Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

    Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:
ax + by + c = 0
(equação geral da reta r)
   Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado oponto P(m, n):
se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;
se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.
                                        Acompanhe os exemplos:
Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).
        Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os  pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as...
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