INTEGRAIS

INTEGRAIS

DEFINIÇÃO: ANTIDERIVADA

Em vários problemas ocorre de conhecermos a derivada de uma função e desejamos encontrar esta função.Por exemplo: Uma função é dita uma antiderivada de uma função f sobre um conjunto de números I se para todos os valores de x em I.O procedimento para achar antiderivada é chamado antidiferenciação. Se afirmarmos que g é uma antiderivada de f sem mencionar explicitamente o conjunto I, então fica entendido que I é todo o conjunto de f, tal que vale para todos os valores de x no domínio de f.
Ex: Prove que é uma antiderivada de . Observe que, se g é uma antiderivada de f sobre o conjunto I, então também o e, onde c é uma constante qualquer.

NOTAÇÃO PARA ANTIDERIVADAS

As antiderivadas são tradicionalmente escritas usando-se um simbologismo especial que tem algumas das vantagens da notação de Leibniz para derivadas e que de fato, foi usado pelo próprio Leibniz.O simbolismo pode ser compreendido pensando-se na diferencial como uma “porção infitesimal de y” e imaginando que y é a soma de todos esses infinitos.Leibniz usou uma letra S estilizada, escrita ,para tais “somatórios” tal que deva simbolizar a idéia de que “y é a soma de todas suas diferenciais”.Como expresso por ,deva ser convenientemente chamado de integração ao invés de somatório. Agora suponha há que g é a antiderivada de f tal que .Se tomamos então , tal que isto é, .Se c é uma constante qualquer então é também uma antiderivada de f.Portanto, damos a seguinte definição.

DEFINIÇÃO: NOTAÇÃO PARA INTEGRAL DE ANTIDERIVADAS

A notação , onde c denota uma constante arbitrária, significa que a função g é uma antiderivada da função f, tal que vale para todos os valores de x no domínio de f. Naturalmente, se I é um conjunto de números, a afirmativa de que em I (ou para x em I) significa que g é uma antiderivada de f em I.Na definição 2, a constante c é chamada constante de integração o símbolo é chamado de sinal de integral, e a função f (ou expressão