integrais

Páginas: 11 (2503 palavras) Publicado: 13 de dezembro de 2014
CURSO DE ENGENHARIAS – APOSTILA DE INTEGRAIS I
PROF. JOSÉ RENATO BUÊNCIO
FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE INTEGRAIS
1)
2)

 k  f ( x) dx  k  f ( x) dx
 [ f ( x)  g ( x)] dx  f ( x) dx  g ( x) dx (sendo válida para mais de duas funções)

xn 1
 k (para n  1)
n 1
1
4)  x - 1 dx   dx  ln | x |  k (para x  0 )
x
 xn 1

 k , se n  -1 (resumindo as fórmulas (3) e(4))
n
5)  x dx  n  1
ln | x |  k , se n  -1

3)

n
 x dx 

6)

 dx  x  k (caso particular da fórmula (3))

7)



8)

e

9)

 .x
 e dx 

u'
1
du  ln | u |  k (extensão da fórmula (4)  du  ln u  k )
u
u
x

dx  e x  k ou  e u du  e u  k

e .x


 k (consequência da fórmula (8))

ax
10)  a dx 
 k ( caso geral da fórmula (8))ln a
11)  e u  u' du  e u  k (extensão da fórmula (8))
x

12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)

 sen u du  - cos u  k
 cos u du  sen u  k
 tg u du  - ln | cos u |  k
 cotg u dx  ln | sen u |  k
 sec u du  tg u  k
 cossec u du  - cotg u  k
 sec u  tg u dx  sec u  k
 cossec u  cotg u du  - cossec u  k
2

2

1

20)

1 u

21)

a

22)

23)



24)

 x  a dx  ln | x  a | k

2

du  arc tg u  k

1
1
u
du  arc tg  k (extensão da fórmula (20))
2
a
a
u
1
du  arc sen u  k
1 u2
1
u
du  arc sen  k (extensão da fórmula (22))
2
2
a
a u

2

1

25)  sec u du  ln | sec u  tg u |  k

26)  sec3 u du =

1
sec u  tg u  ln | sec u  tg u |  k
2

PRINCIPAIS FÓRMULAS EPROPRIEDADES DAS INTEGRAIS

1)
2)

 k  f (u) du  k  f (u) du
[ f (u)  g (u)] du  f (u) du  g (u) du (sendo válida para mais de duas funções)

un 1
 k (para n  1)
n 1
1
4)  u - 1 du   du  ln | u |  k (para u  0 )
u
u n  1

 k , se n  -1 (resumindo as fórmulas (3) e (4))
n
5)  u du  n  1
ln | u |  k , se n  -1

3)

n
 u du 

6)

e

u

du e u  k

au
7)  a du 
k
ln a
8)  sen u du  - cos u  k
u

9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)

 cos u du  sen u  k
 tg u du  - ln | cos u |  k
 cotg u dx  ln | sen u |  k
 sec u du  tg u  k
 cossec u du  - cotg u  k
 sec u  tg u dx  sec u  k
 cossec u  cotg u du  - cossec u  k
2

2

1
1
u
du  arc tg    k
2
u
a
a
1
1
u
du  arcsen u  k e 
du  arc sen    k
17) 
a
a2  u2
1 u2
1
18)  sec u du  ln | sec u  tg u |  k e  sec 3 u du  [sec u  tg u  ln | sec u  tg u | ]  k
2
19)  u  dv  u  v - v  du (integração por partes)

1

16)

1 u

20)





Algumas aplicações das integrais:

2

du  arc tg u  k

a

e

2

1
dx  ln | x  a |  k
xa

Área  A  b f ( x)dx ou A  d f ( y ) dy
a
c


b
d
2
2
Volume  V   a   [ f ( x)] dx ou V   c   [ f ( y )] dy

Comprimento de Arco  C  b 1  [ f ' ( x)]2 dx ou C  d 1  [ f ' ( y )]2 dy
a
c




sen 2  cos 2   1 cos 2  

1 1
 cos 2
2 2

1  tg 2  sec 2 

CURSO DE ENGENHARIAS – APOSTILA DE INTEGRAIS I
PROF. JOSÉ RENATO BUÊNCIO

PRIMITIVAS

1.INTRODUÇÃO

Em muitos problemas, embora a derivada de uma função seja conhecida, torna-se necessário determinar a
própria função.
É o caso dos seguintes exemplos:





Um sociólogo que, conhecendo a taxa de crescimento da população, poderá usar tal dado para prever futuras
taxas de crescimento daquela população;
Um físico que, conhecendo a velocidade de um corpo, será capaz de determinar aposição futura do corpo;
Um economista que, conhecendo a taxa de inflação, poderá fazer estimativas de preço, no futuro;
Entre outros.

Ao processo de determinação de uma função a partir de sua derivada dá-se o nome de cálculo das primitivas
ou integração.
2. DEFINIÇÃO
Uma função F(x) para a qual F ’ (x) = f(x) para todo x pertencente ao domínio de f é uma primitiva (ou
integral...
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