Integrais
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Integrais Múltiplas1- Revisão de Integral de Funções a uma Variável
1.1- Integral Indefinida
Definição: Uma função F será chamada de antiderivada ou primitiva de uma função f num intervalo I se ′ () = (), para todo ∈ I.
O processo de se determinar todas as antiderivadas de uma função é chamado antidiferenciação ou integração. Para indicar que a operação de integração deve ser executada sobre uma função f, usamos a notação: = + o que nos diz que a integral indefinida de f é a família de funções dada por + , onde ′ = ().
1.2- Tabela de Algumas Integrais Indefinidas
1
= +
2
+1 =
+ com ≠ −1 + 1
3
=
+
ln()
4
= +
5
() = () +
6
= −() +
7
1 = ln + ≠ 0
com > 0 ≠ 1
Exemplos:
5
1)
2)
5 =
2+1 7/2
2
5 /2 =
=
= 7/2 +
7/2
7/2
7
cos = () +
1
1.3 – Principais Propriedades das Integrais
1)
2)
. = . ±
=
=
±
Exemplos:
5 3 + 2 cos
1)
5 3 + 2 cos
=5
=
8 3 − 6 +
8 3 − 6 +
=8
=8
3 + 2
2 cos = 5
cos =
4
5
+ 1 + 2 + 2 = 4 + 2 + 51 + 22 =
4
4
5
= 4 + 2 +
4
2)
5 3 +
= 51 + 22
1
3
1 = 3
3 − 6
1/2 +
8 3 +
−6 +
1 = 3
−3 =
4 3/2 −2
1
+ 1 − 6
+ 2 +
+ 3 = 2 4 − 4 3/2 − 2 + 81 − 62 + 3 =
4
3/2
−2
2
= 2 4 − 4 3/2 −
1
+
2 2
3)
(2 − 1)2
2
=
4 − 22 + 1 =
2
=
=
2 − 2
+
2 − 2 +
−2 =
1 =
2
2 −
2 +
1 =
2
3
−2+1
− 2 +
+ =
3
(−2 + 1)
3
1
− 2 − +
3
2
1.4 – Técnicas de Integração – Método da Substituição
Método da Substituição , ′ = , ã
() . ′ () =
+
= ()
→
= ′
çã:
= + .
Exemplos:
1)
2
= 2
∴ = = 2
2
1 =
2
2
2)
1
1
() = − cos + = − cos 2 +
2
2
4
= 4
∴ = = 4
4
3)
4)