Igualdade e Vetores
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06/03/2012GEOMETRIA ANALÍTICA – AULA 3
VETORES NO PLANO (R²)
Introdução
Anteriormente estudamos os vetores do ponto de vista geométrico, representados por segmentos de reta orientados. Agora vamos representá-los no sistema de eixo cartesiano do plano.
Na figura abaixo x e y formam um sistema cartesiano ortogonal (dois eixos perpendiculares entre si) e o plano y por eles determinado é o Plano Cartesiano.
Eixo x : eixo das abscissas
Eixo y : eixo das ordenadas x Decomposição de um vetor no Plano v1 e v2 não colineares (não têm a mesma direção), qualquer vetor v coplanar (mesmo plano) com os
Dados dois vetores
dois vetores pode ser decomposto segundo as direções de
v1 e v2 , tal que:
v2
v1
v
v = a1 v1 + a2 v2 a2v2 v
v2
v1
a1v1
1
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Decomposição de um vetor no Plano a2v2 v
v = a1 v1 + a2 v2
v2 v1 a1v1
Na figura, o par de vetores v1 e v2 é chamado base no plano.
Os números a1 e a2 são chamados componentes ou coordenadas de
v em relação à base { v , v } .
1
2
Exemplo: Considerando a base acima, represente o vetor
v = 2v1 + 3v2
Base Ortonormal
Definição: Uma base é ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, ou seja, v
1
v2
e |v1 | = |v2 | = 1
Base Canônica: É a base ortonormal formada pelos vetores com origem em O e extremidade nos pontos (1, 0) e (0, 1)
r r
{i , j } = {(1,0), (0,1)}
Representação de um vetor na Base Canônica v = a1 v1 + a2 v2
Na base canônica
r r r v = x i + yj x e y são as coordenadas de v em relação à base { i , j } xi é a projeção de v sobre o eixo x yj é a projeção de v sobre o eixo y
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Expressão Analítica de um Vetor r r
Fixada a base {i , j } podemos dizer que a cada vetor
v
do plano pode-se associar um par ordenado (x,y) de números reais, que são as coordenadas do vetor.
Expressão analítica:
r v = ( x, y )
que é a
ordenada abscissa r r r v = x i