aula de base- algebra

Páginas: 7 (1558 palavras) Publicado: 24 de julho de 2015
Livro base:
Álgebra Linear –Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle – Person. São Paulo. 1987.


BASE E DIMENSÃO

Base de um Espaço Vetorial

Um conjunto B = {v1, ..., vn} V é uma base do espaço vetorial V se:

I) B é LI

II) B gera V

Exemplos

1) B = {(1,0), (0,1)} é base do 2, denominada base canônica. De fato

I) B é LI
a1e1 + a2e2= 0
a1 (1,0) + a2 (0, 1) = (0, 0)
(a1, 0) + (0, a2) = (0, 0)(a1, a2) = (0, 0)
isto é:
a1 = 0 e a2 = 0

II) B gera 2
(x, y) = xe1 + ye2 = x(1,0) + y(0, 1) = (x, 0) + (0, y) = (x, y)
Assim, [e1, e2] = 2

2) B = {(1,2), (3,5)} é base do 2. De fato:

I) B é LI.

a1(1, 2) + a2(3, 5) = (0,0)
(a1, 2a1) + (3a2, 5a2) = (0,0)
(a1 + 3a2, 2a1 + 5a2) = (0,0)
ou

sistema que admite somente a solução trivial (a1 = a2 = 0), o que confirma ser B LI.

II) Bgera o 2
v =a1v1+a2 v2
(x, y) =a1(1,2)+ a2(3,5)
(x, y) = (a1, 2 a1) + (3 a2, 5 a2)
(x, y) = (a1 + 3 a2,2a1 + 5 a2).
Dessa igualdade resulta o sistema:

que, resolvido em função de x e y, fornece:
a1 = -5x + 3y e a2 = 2x -y

isto é, G(A) = 2


3) B = {e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)} é base da 3 De fato:

I) B é LI
a1e1 + a2e2 + a3e3 = 0
a1 (1,0,0) + a2 (0, 1, 0) + a3(0,0,1) = (0, 0,0)
(a1, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, a3) = (0, 0, 0)
(a1, a2, a3) = (0, 0, 0)
isto é:
a1 = 0 , a2 = 0 e a3 = 0

II) B gera 3
(x, y, z) = xe1 + ye2 + ze3 = x(1,0,0) + y(0, 1,0) + z(0,0, 1)
= (x,0,0) + (0,y,0) +(0,0,1)
= (x, y, z).
Assim, [e1, e2, e3] = 3

4) B = {V1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0)} é base do 3 De fato:

I) B é LI.

a1(1,1,1) + a2(1,1,0) + a3(1,0,0) = 0

(a1, a1, a1) + (a2,a2, 0) + (a3, 0, 0) = (0,0,0)

(a1 + a2 + a3, a1 + a2, a1) = (0,0,0)



sistema que admite somente a solução trivial (a1 ,a2 , a3 = 0), o que confirma ser B LI.

II) B gera o 3 De fato, qualquer vetor v = (x, y, z) é combinação linear de v1, v2 e v3:

(x, y, z) = a1v1 + a2v2 + a3v3
(x, y, z) = a1(1,1,1) + a2(1,1,0) + a3(1,0,0)
(x, y, z) = (a1,a1,a1) + (a2, a2, 0) + (a3, 0, 0)
(x, y, z)=(a1+a2+a3,a1 + a2, a1)

ou


isto é, a1 = z, a2 = y - z e a3 = x - y; portanto:
(x, y, z) = z(4,1,1) + (y - z)(1,1,0) + (x - y)(0,0,1),
o que comprova ser qualquer vetor v = (x, y, z) combinação linear de v1,v2 e v3.
Logo, [v1,v2, v3] = 3

5) B = { (2, 3), (-4, -6) } não é base do 2 pois B é LD.
a1v1 + a2 v2 = 0
a1 (2, 3) + a2 (-4, -6) = (0,0)
(2a1, 3a1) + (4 a2,-6 a2) = (0,0)
(2a1- 4 a2, 3a1- 6 a2) =(0,0)

Dessa igualdade resulta o sistema

que admite a solução a1 = 2a2. Fazendo, por exemplo, a2 = 3, se obtêm a1 = 6 e a equação
a1v1 + a2v2 = 0
fica:
6 (2, 3) + 3 (-4, -6) = (0,0)

Logo, v1 e v2 são LD porque a equação acima se verifica para coeficientes a1 e a2 diferentes de zero.
Com isso podemos afirmar que B não é uma base.

6) B = {(1,0), (0,1), (7,4)} não é base do 2, pois é LD.
a1e1 + a2e2+a3w = 0
a1 (1,0) + a2 (0,1) + a3 (4,7) = (0,0)
(a1, 0) + (0, a2) + (4 a3, 7 a3) = (0,0)
(a1 + 4 a3, a2 + 7 a3) = (0,0)

Dessa igualdade se obtêm o sistema:
ou
fazendo a3 = 2, por exemplo, vem:

a1 = -8 e = -14
e
-8(1,0) - 14 (0,1) + 2 (4,7) = (0,0)

Logo, os vetores e1, e2 e w são LD porque a equação acima se verifica para coeficientes de e1, e2 e w diferentes de zero.

Dimensão de umEspaço Vetorial

Se V é um vetorial e possui uma base com n vetores, V tem dimensão n. A dimensão de V se indica por dim V = n.

 O espaço vetorial {0}, constituído somente pelo vetor nulo, é d dimensão zero.

Exemplos
1) dim 2 = 2.
2) dim 3 = 3.
3) dim {0} = 0

Propriedades Relativas à Base e à Dimensão

I. Qualquer conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado. Porexemplo, o conjunto B = {e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0)}3 gera o subespaço:
S = {(x, y, O)3 | x, y }
Como B é também LI, B é base de S.

II. Se B = {v1, v2, ..., vn} for base de um espaço vetorial V, todo conjunto com mais de n vetores de V é LD.
Para simplificar, sejam dim V = 2 e B = {v1, v2} uma base de V e considere-se B'={w1,w2,w2} V . Pretende-se mostrar que B' é LD. Para tanto é suficiente...
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