Dependencia E Independencia Linear

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática
Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam

v1 , v 2 , ..., v n

vetores em V e a equação vetorial

a1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n = 0

(1)

v 1 , ..., v n
0.v1 + 0.v 2 + ... + 0.v n = 0

Obviamente o vetor zero sempre pode ser escrito “trivialmente” como CL de

pois a afirmação

a1 = a 2 = ... = a n = 0

é sempre verdadeira para quaisquer que sejam os vetores dados. A solução

é chamada solução

trivial de (1). A respeito desta equação o interesse está na resposta à pergunta
“A solução trivial de (1) é única?
Se a resposta for
a)

Sim, então

v 1 , v 2 , ..., v n

são linearmente independentes (LI) ou o conjunto

b)

Não, então

v 1 , v 2 , ..., v n

{v1 , v 2 , ..., v n } é LI

são linearmente dependentes (LD)

{v1 , v 2 , ..., v n } soluções não triviais (ai ≠ 0 ) ou o conjunto

é LD, e neste caso, a equação (1) admite

Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1 – Os vetores unitários canônicos de

e1 = (1,0,0,0 ) e2 = (0,1,0,0 ) e3 = (0,0,1,0) e4 = (0,0,0,1)

R4

são LI pois a equação

a1e1 + a 2 e2 + a3 e3 + a4 e4 = 0 ou a1 (1,0,0,0 ) + a 2 (0,1,0,0 ) + a 3 (0,0,1,0 ) + a 4 (0,0,0,1) = (0,0,0,0 )

se reduz a

(a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) = (0,0,0,0)

e portanto, possui somente a solução trivial
Exemplo 2 – Os vetores

a1 = a 2 = a3 = a 4 = 0

v1 = (1,0,0 ) , v 2 = (2,1,0 )

e

v 3 = (1,-1,1)

⎡
⎢1
⎢0
⎢
⎢0
⎣⎢

⎤
1 0⎥
1 − 1 0⎥
⎥
0 1 0⎥
⎦⎥

são LI, pois a equação

a1 v1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 0

ou

o sistema correspondente

só admite a solução trivial

a1 = a 2 = a 3 = 0 .

Exemplo 3 – Os vetores

0.v1 + 0.v 2 + 0.v 3 = 0 isto é, a igualdade

2

v1 = (1,0,0 ) , v 2 = (2,1,2 )

e

v 3 = (1,2,4)

são LD pois além de ser verdade que

também é verdadeira a afirmação

3v1 − 2v 2 + v 3 = 0 (verifique) a1 v1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 0 admite soluções (ai ≠ 0) (não triviais).
Professor Paulo Winterle

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Observação Importante