Dependencia E Independencia Linear

Páginas: 6 (1295 palavras) Publicado: 13 de março de 2015
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática
Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam

v1 , v 2 , ..., v n

vetores em V e a equação vetorial

a1 v1 + a 2 v 2 + ... + a n v n = 0

(1)

v 1 , ..., v n
0.v1 + 0.v 2 + ... + 0.v n = 0

Obviamente o vetor zero sempre pode ser escrito“trivialmente” como CL de

pois a afirmação

a1 = a 2 = ... = a n = 0

é sempre verdadeira para quaisquer que sejam os vetores dados. A solução

é chamada solução

trivial de (1). A respeito desta equação o interesse está na resposta à pergunta
“A solução trivial de (1) é única?
Se a resposta for
a)

Sim, então

v 1 , v 2 , ..., v n

são linearmente independentes (LI)
ou o conjunto

b)

Não, então

v 1 ,v 2 , ..., v n

{v1 , v 2 , ..., v n } é LI

são linearmente dependentes (LD)

{v1 , v 2 , ..., v n }
soluções não triviais (ai ≠ 0 )
ou o conjunto

é LD, e neste caso, a equação (1) admite

Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1 – Os vetores unitários canônicos de

e1 = (1,0,0,0 )
e2 = (0,1,0,0 )
e3 = (0,0,1,0)
e4 = (0,0,0,1)

R4

são LI pois a equação

a1e1 + a 2 e2 + a3 e3 + a4 e4 = 0
ou

a1(1,0,0,0 ) + a 2 (0,1,0,0 ) + a 3 (0,0,1,0 ) + a 4 (0,0,0,1) = (0,0,0,0 )

se reduz a

(a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) = (0,0,0,0)

e portanto, possui somente a solução trivial
Exemplo 2 – Os vetores

a1 = a 2 = a3 = a 4 = 0

v1 = (1,0,0 ) , v 2 = (2,1,0 )

e

v 3 = (1,-1,1)


⎢1
⎢0

⎢0
⎣⎢


1 0⎥
1 − 1 0⎥

0 1 0⎥
⎦⎥

são LI, pois a equação

a1 v1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 0

ou

o sistema correspondente

sóadmite a solução trivial

a1 = a 2 = a 3 = 0 .

Exemplo 3 – Os vetores

0.v1 + 0.v 2 + 0.v 3 = 0
isto é, a igualdade

2

v1 = (1,0,0 ) , v 2 = (2,1,2 )

e

v 3 = (1,2,4)

são LD pois além de ser verdade que

também é verdadeira a afirmação

3v1 − 2v 2 + v 3 = 0 (verifique)
a1 v1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 0 admite soluções (ai ≠ 0) (não triviais).
Professor Paulo Winterle

2

Observação Importante
Todosistema homogêneo no qual ocorre
número de equações < número de variáveis
é indeterminado, ou seja, admite soluções não triviais

(≠ 0) .

3

Este fato permite identificar de imediato alguns conjuntos LD. No intuito de simplificar, tomemos o espaço vetorial R e
observemos dois detalhes importantes:
a)
como neste conjunto cada vetor tem 3 componentes, o sistema homogêneo correspondente à equação(1) terá
sempre 3 equações, independente do número de vetores.
b)

na igualdade (1) o número de variáveis

(a i ) coincide com o número de vetores (vi ) .

Com base nestas duas observações, conclui-se: em
sempre serão LD.

R3 ,

4 ou mais vetores (são 3 equações contra 4 ou mais variáveis)

Em outras palavras:
3

No R o número máximo de vetores LI é 3. Com raciocínio análogo, infere-se que o númeromáximo de vetores LI em
é n ( n + 1 vetores ou mais são LD)
Exemplos:

Rn

e1 = (1,0 ) , e 2 = (0,1) e v = (2,5) são LD, pois sendo vetores do R 2 , o número máximo de vetores LI é 2;
os vetores e1 = (1,0,0 ) , e 2 = (0,1,0 ) , e 3 = (0,0,1) e v = (2,3,4 ) são LD e dentre eles encontramos no máximo 3

1) os vetores
2)

vetores LI;
3) quaisquer 5 ou mais vetores do

R4

são LD.

No entanto, muitocuidado precisamos ter quando, no
Exemplo 4 – Verificar se são LI ou LD os vetores

R n , tivermos vetores em número ≤ n .

v1 = (1,-1,1) , v 2 = (2,1,5) e v 3 = (- 1,4,2) .

Solução: Examinemos a igualdade

a1 v1 + a 2 v 2 + a 3 v 3 = 0

ou o sistema homogêneo


⎢ 1
⎢− 1

⎢ 1
⎣⎢

Escalonando o sistema,vem

(2)


2 − 1 0⎥
1 4 0⎥

5 2 0⎥
⎦⎥

2 − 1 0⎥
3 3 0⎥

0 0 0⎥
⎥⎦


⎢1
⎢0

⎢0
⎢⎣

e,portanto, existem soluções não triviais

(ai ≠ 0) . Logo, os vetores dados são LD.

Observação:
Resolvendo o sistema obtém-se

a 1 = 3a3

e

a 2 = −a 3 .

e, portanto, a equação (2) fica

(3a3 )v1 + (− a 3 )v2 + a3v3 = 0
(3)
para ∀a3 ∈ R . E para cada valor de (a3 ≠ 0 ) , a igualdade (3) se escreve com soluções não triviais.
Dividindo (3) por (a3 ≠ 0 ) , vem
3v1 − v2 + v3 = 0

Professor Paulo...
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