identidade trigonométrica

Uma identidade trigonométrica é uma equação envolvendo funções trigonométricas e que é verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Estas identidades são úteis sempre que expressões envolvendo funções trigonométricas devam ser simplificadas. Uma importante aplicação é a integração de funções não-trigonométricas: um truque comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.

A relação básica entre seno e cosseno é a identidade trigonométrica fundamental:

\cos^2\theta + \sen^2\theta = 1\! onde cos2 θ é igual (cos(θ))2 e sen2 θ é igual (sen(θ))2.

Isto pode ser deduzido através do Teorema de Pitágoras, vindo da equação x2 + y2 = 1 para um círculo unitário. Essa equação pode ser resolvida tanto com seno quanto com cosseno:

\sen\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{e} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sen^2\theta}. \,
Identidades relacionadas[editar | editar código-fonte]
Dividindo-se a identidade trigonométrica fundamental tanto por cos2 θ quanto sen2 θ, obter-se-á duas identidades:

1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{e}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\!

Fórmulas de arco múltiplo[editar | editar código-fonte]
Tn é o enésimo Polinômio de Chebyshev \cos n\theta =T_n (\cos \theta )\, 13
Sn é o enésimo polinômio de abertura \sen^2 n\theta = S_n (\sen^2\theta)\,
Fórmula de De Moivre, i é a unidade imaginária \cos n\theta +i\sen n\theta=(\cos(\theta)+i\sen(\theta))^n \, 14
Formulas de arco duplo, triplo e metade[editar | editar código-fonte]
Estas fórmulas podem ser demonstradas tanto pela soma quanto pela diferença de identidades ou pelas fórmulas de arcos múltiplos:

Fórmulas de arco duplo15 16
\begin{align}
\sen 2\theta &= 2 \sen \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \begin{align}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sen^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta -