8 Integracao De Funcao Trigonometrica

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Disciplina: Cálculo II
Professora: Nadjara Paixão

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
Introdução

 Para

o cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, utilizamos alguns artifício de cálculo com o auxílio das identidades trigonométricas.
 Estudaremos três casos:
1º) Quando pelo menos um expoente é ímpar, utilizamos a identidade trigonométrica, 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1;
2º) Quando os expoentes são pares, utilizamos as identidades trigonométricas, 𝑠𝑒𝑛2 𝑥

=

1−cos 2𝑥
2

𝑒

cos 2 𝑥

=

1+cos 2𝑥
2

;

3º) Nas integrais com funções trigonométricas de arcos diferentes, utilizamos as fórmulas da soma e subtração de seno e cosseno de dois arcos.

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TRIGONOMÉTRICAS
1º) Quando pelo menos um expoente é ímpar, utilizamos a identidade trigonométrica,
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 = 𝟏
 O princípio consiste em escrever o termo que possui expoente ímpar como sendo produto de duas potências, sendo uma delas igual a 1 e manter o outro termo fixo. No caso de duas potências ímpares, escolhemos a menor delas para facilitar os cálculos.
Exemplo: Questão 16 da lista 1 (Resolução em aula)
a)

𝑠𝑒𝑛3 (𝑥) 𝑑𝑥

b)

𝑠𝑒𝑛2

𝑥

cos 3 (𝑥) 𝑑𝑥

c)

cos3 𝑥
𝑠𝑒𝑛4 𝑥

𝑑𝑥

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TRIGONOMÉTRICAS
2º) Quando os expoentes são pares, utilizamos as identidades trigonométricas,
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙
𝟐
𝟐
𝒔𝒆𝒏 𝒙 =
𝒆 𝒄𝒐𝒔 𝒙 =
𝟐
𝟐
Questão 16 da lista 1 (Resolução em aula)
f) 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥 𝑑𝑥
g)

𝑠𝑒𝑛2 𝑥. cos 2 𝑥 𝑑𝑥

Extra
 cos 4 𝑥 𝑑𝑥=

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TRIGONOMÉTRICAS
3º) Nas integrais com funções trigonométricas de arcos diferentes, utilizamos as fórmulas da soma e subtração de seno e cosseno de dois arcos.

Questão 16 da lista 1 (Resolução em aula)

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TRIGONOMÉTRICAS
As integrais

𝑡𝑔𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 e

𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥

 Utilizaremos as seguintes identidades trigonométricas:

1) 𝑡𝑔2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1
2) 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 = cossec 2 𝑥 −