Hiperbole

[pic]

Apolônio, um geômetra renomado, descobriu que, ao cortar-se um cone duplo de diferentes formas, obtinham-se diferentes lugares geométricos, denominados por ele cônicas. Uma delas é a hipérbole, que é gerada a partir do corte do cone por um plano paralelo ao eixo do mesmo. Como consequência disso, a hipérbole terá dois ramos. [pic]

Elementos da hipérbole e definição: Para identificar os elementos da hipérbole, é necessário o conhecimento do teorema de Dandelin-Quetelet: “A seção de um cone circular, por um plano tangente a uma esfera inscrita nesse cone, é uma cônica que tem foco no ponto de contato e para diretriz correspondente a interseção do plano com o plano da circunferência de contato da esfera e do cone.” A partir disso, admite-se que o plano secante corta as geratrizes das duas folhas da superfície cônica. Obtém-se então a cônica determinada hipérbole sobre o cone. [pic] Observando-se a figura, conclui-se que:

PF2 - PF1 = PG’ - PG = GG’ = BB’ = constante, pois são tangentes as mesmas esferas em um mesmo ponto.

Tem-se:

BB’ = A1B’ - A1B = A1F2 - A1F1

pois

A1B = A1F1 e A1B’ = A1F2

Pois são tangentes a uma esfera por um mesmo ponto. Além disso,

BB’ = CC’ = A2C - A2C’ = A2F1 - A2F2

pois

A2C = A2F1 e A2C’ = A2F2

De onde

BB’ = CC’ = A1F2 - A1F1 = A2F1 - A2F2

Além disso,

BB’ = CC’ = A2C - A2C’ = A2F1 - A2F2

Logo, conclui-se que:

A1F1 = A2F2 e A1F2 = A2F1

Pois são segmentos iguais de sinais contrários. E, finalmente,

A2F1 - A1F2 = A1F2 - A2F2 = BB’ = A1A2

portanto,

PF2 - PF1 = A1A2

As interseções dos planos paralelos BC e B’C’ com o plano secante são as retas diretrizes da hipérbole. Isso apresenta uma relação entre os pontos da hipérbole, a qual pode ser definida como segue:

“Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos para