Fundamentos da Física 2

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2
ATIVIDADE AA2
3) Um cilindro longo isolante de raio R possui um buraco cilíndrico de raio a perfurado ao longo de toda a extensão do eixo paralelo ao eixo do cilindro. O eixo do buraco está a uma distância b do eixo do cilindro, onde a <b < R. A parte maciça do cilindro possui uma densidade de carga volumétrica  uniforme.
Encontre o módulo a direção e o sentido do campo elétrico, no interior do buraco.
Dica use o princípio da superposição. Suponha que o cilindro é uniforme e calcule o campo E. Suponha no lugar do buraco uma carga de densidade negativa e calcule o campo devido a essa distribuição. O buraco pode ser suposto como a soma da carga positiva e da negativa e então somando os dois campos no interior do buraco chega-se ao resultado esperado.
Solução:
Ignorando o buraco, podemos calcular inicialmente o campo elétrico dentro de um cilindro com densidade de carga uniforme da seguinte forma:
Dentro do cilindro, podemos definir uma superfície
Guassiana cilíndrica de raio r' de maneira que o fluxo através dessa superfície seja dado por
∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠 =

𝑞
𝜖0

onde ds é o elemento de área da superfície e q é a carga contida na superfície.
Para um cilindro, a equação acima pode ser escrita como a soma do fluxo nas faces do cilindro e nas paredes laterais, radialmente
∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠 = ∫ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠
𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠

+ ∫ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙

Para L»R, podemos ignorar os efeitos das faces do cilindro, supondo que as contribuições importantes são apenas as radiais. Restando apenas o segundo termo da equação acima.
Assim:

∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠 = ∫ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙

Na direção radial, o campo elétrico e ds são sempre paralelos, de maneira que:
∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠 = ∫ 𝐸. 𝑑𝑠
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙

No caso do cilindro: ds=r' d dL'
 é o ângulo de r' em torno do eixo. Podemos, então, escrever a eq. do fluxo como ∮ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠 = ∫ 𝐸. 𝑑𝑠

= ∬ 𝐸𝑟 ´ 𝑑𝐿´ 𝑑𝜃

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙

A integral de d em toda a volta, é igual a 2. Ao longo da direção de L', os termos r' e E