Exercicios de determinantes

Álgebra Linear - Exercícios (Determinantes)

Índice
1 Teoria dos Determinantes 1.1 Propriedades . . . . . . . . . 1.2 Cálculo de Determinantes . . 1.3 Determinantes e Regularidade 1.4 Teorema de Laplace . . . . . 1.5 Miscelânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 6 8 11 16

2

1 Teoria dos Determinantes

1
1.1

Teoria dos Determinantes
Propriedades

Exercício 1 Considere as seguintes matrizes: · 5 2 3 −4 ¸ · 3 −6 2 3 ¸

A= a) Calcule |A| e |B|.

B=

b) Calcule |AB| sem realizar o produto AB. ¯ ¯ c) Calcule ¯A−1 ¯, se existir, sem calcular A−1 . Solução a) Dado que se tratam matrizes de ordem 2, utilizemos a ”regra da cruz”: ¯ ¯ ¯ 5 2 ¯ ¯ |A| = ¯ ¯ 3 −4 ¯ = 5 · (−4) − 2 · 3 = −26 ¯ ¯ ¯ 3 −6 ¯ ¯ |B| = ¯ ¯ 2 3 ¯ = 3 · 3 − (−6) · 2 = 21

b) Sabendo que |AB| = |A| |B|, teremos |AB| = |A| |B| = (−26) · 21 = −546. ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 c) Sabendo que ¯A−1 ¯ = |A| , teremos ¯A−1 ¯ = |A| = −26 = − 26 . Exercício 2 Seja A ∈ Mn (R) e |A| = 2. Determine ¯ ¯ a) ¯A2 ¯ b) |3A| ¯ ¯ c) ¯A−1 ¯ ¯ ¯ d) ¯Ak ¯ ¯ ¯ e) ¯AT ¯

b) |3A| = 32 · |A| = 9 · 2 = 18 ¯ ¯ 1 c) ¯A−1 ¯ = |A| = 1 2

Solução ¯ ¯ a) ¯A2 ¯ = |A| |A| = 2 · 2 = 4

3

1 Teoria dos Determinantes ¯ ¯ k d) ¯Ak ¯ = |A| = 2k ¯ ¯ e) ¯AT ¯ = |A| = 2

Exercício 3 Mostre, calculando directamente os determinantes, as seguintes igualdades: ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ a) ¯ a1 a2 a3 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ c1 c2 c3 ¯ ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ b) ¯ b1 b2 b3 ¯ = 0 ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 a2 ¯ ¯ ¯ ¯ = − ¯ b1 b2 ¯ c) ¯ ¯ a1 a2 ¯ b1 b2 ¯ Solução

Exercício 4 Seja A a matriz a seguir indicada onde a, b e c são escalares não nulos. Adicionalmente, seja C uma matriz de ordem 3 tal que |C| = 0.  a 0 0 A= 0 b 0  0 0 c 

b) Utilizemos a regra de Sarrus: ¯ ¯ ¯ a1 a2 a3 ¯ ¯ ¯ ¯ b1 b2 b3 ¯ = a1 b2 a3 + a2 b3 a1 + a3 b1 a2 − a3 b2 a1 − a2 b1 a3