exerc de matematica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
DISCIPLINA: C´alculo I
PROFESSOR: Paulo de Souza Rabelo

Lista de Exerc´ıcios - Aplica¸c˜oes da Derivada
1. Verifique as condi¸c˜oes do Teorema de Rolle e determine os x0 correspondentes a` conclus˜ao do teorema:
(a) f (x) = x2 − 7x + 10, no intervalo [0, 7];
(b) f (x) = x2 − 4x, no intervalo [−1, 5];
(c) f (x) = x3 − 5x2 − 17x + 21, no intervalo [−3, 7];
].
(d) f (x) = sen(x) + cos(x), no intervalo [− π4 , 3π
4
2. Verifique as condi¸c˜oes do Teorema do Valor M´edio e determine os x0 correspondentes a` conclus˜ao do teorema:
(a) f (x) = x3 − 2x2 , no intervalo [1, 3];
(b) f (x) = x4 − 8x2 , no intervalo [−1, 1];
(c) f (x) = x2 − 5x + 6, no intervalo [3, 6];
(d) f (x) = sen(2x), no intervalo [0, π].
3. Calcule os pontos cr´ıticos (se existirem) de:
(a) f (x) = 3x + 4;
(b) f (x) = x3 + 2x2 + 5x + 3;
(c) f (x) = ex − x;
(d) f (x) = sen(x) − cos(x).
4. Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) = 6x4 − 20x3 − 6x2 + 72x + 12;
(b) f (x) = ln(x2 + 1);
(c) f (x) = 2x ;
(d) f (x) =

√ 1
.
x2 +1

5. Calcule os pontos de m´aximo e de m´ınimo relativos (se existem) de:
(a) f (x) =
(b) f (x) =

x4
+ 53 x3
4
4x
;
x2 +4
2

+ 4x2 ;

(c) f (x) = (x + 2) (x − 1)3 ;

(d) f (x) = 2x2 +

2
.
x2

6. Calcule os pontos de inflex˜ao (se existem) e estude a concavidade de:
(a) f (x) = −x3 + 5x2 − 6x;
(b) f (x) = 2xe−3x ;
(c) f (x) = ln(x2 − 2x + 2);
(d)

x2 +9
.
(x−3)2

7. Esboce os gr´aficos de:
(a) f (x) = −x4 − x3 − 2x2 ;
(b) f (x) =

3x+1
;
(x+2)(x−3)

(c) f (x) =

1 x2 − x1 ;

(d) f (x) = 2x ln2 (x).
8. Seja y = xm (1 − xn ), onde m e n s˜ao n´ umeros naturais. Verifique:
(a) Se m ´e par, y tem um ponto de m´ınimo em x = 0;
(b) Se n ´e par, y tem um ponto de m´ınimo em x = 1.
9. Determine a ´area do retˆangulo m´aximo, com base no eixo dos x e v´ertices