Estudo Da Reta No Espa O R

ESTUDO DA RETA
NO ESPAÇO R²

EQUAÇÕES DA RETA
Seja r a reta definida pelos pontos
Q (x1 ,y1 ) e R (x 2 , y2 ) . Se P (x, y) é um ponto que percorre r, então x e y são variáveis.
Como P, Q e R são colineares, temos necessariamente: x y 1 x1 y1 1  0

x2

y2 1

Desenvolvendo o determinante, vem que (y1 -y2 ).x + (x 2 -x1 ).y + (x1y2 -x 2 y1 ) = 0
Chamando (y -y ).x + (x -x ).y + (x y -x y ) = 0 , vem que a
1

2

a

equação geral da reta r é:

2

1

b

1 2

2 1

c

ax + by + c = 0

EXEMPLO
• Obter a equação da reta da figura.

FORMAS DA EQUAÇÃO DA RETA
1. Forma geral: ax + by + c = 0
2. Forma reduzida: dada a equação geral, se tem-se:  a  c by = -ax - c  y =  -  x+  -  
 b  b m b0

y = mx + q

q

3. Forma segmentária: seja

, então

por determinante temos que: x

y
+ =1 p q

EXEMPLOS
1. Se uma reta r passa por A(0,3) e B(-1,0), qual é sua equação reduzida?
Resposta:

x y 1
0 3 1 0 
1 0 1

3x  y  3  0

Portanto, a forma reduzida fica por conta da equação

y  3x  3

, em que m = 3 e q = 3.

EXEMPLOS
2. Obter a equação geral da reta que intercepta os eixos em P(2,0) e Q(0,-3).
Resposta

x
2

y
0

1
1 0 

- 6  3x - 2 y  0

0 3 1

3x  2 y  6  0



COEFICIENTE ANGULAR E
DECLIVIDADE
• Coeficiente angular ou declive de uma reta r não perpendicular ao eixo das abscissas é o número real m tal que:

m = tg α

COEFICIENTE ANGULAR E
DECLIVIDADE

Cálculo de m
• Só é possível calcular o coeficiente angular m de uma reta quando dela se conhece:
dois pontos distintos; ou a equação geral; ou a direção (por exemplo, sabe-se que a reta é paralela a uma reta dada).

• Então:

y 2 - y1 m= x 2 - x1

, x

2

 x1 

• Tendo conhecida a equação geral da reta, ou seja, ax + by + c = 0, vem do determinante que (y1 -y2 ).x + (x 2 -x1 ).y + (x1y2 - x 2 y1 ) = 0 a • Assim, se: m =

b

y 2 - y1 x 2 - x1



a m=b EXEMPLO
• Encontre o coeficiente angular da reta (r) e o valor do ângulo que ele representa.

r

3 x - 3y + c = 0

Resposta

Sendo