NotasSuperf Cies

Páginas: 37 (9138 palavras) Publicado: 3 de junho de 2015
Superf´ıcies e Curvas no Espa¸co
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´atica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
regi@mat.ufmg.br
11 de dezembro de 2001

1

Qu´
adricas

Nesta se¸ca˜o estudaremos as superf´ıcies que podem ser representadas pelas equa¸co
˜es quadr´
aticas nas vari´aveis x, y e z, ou seja, da forma
ax2 + by 2 + cz 2 + dxy + exz + f yz + gx +hy + iz + j = 0,
em que a, b, c, d, e, f, g, h, i, j ∈ R, com a, b, c, d, e, f n˜ao simultaneamente nulos. Vamos nos
limitar neste cap´ıtulo ao estudo de casos especiais da equa¸ca˜o acima.

1.1

Elips´
oide
z

z

x

Figura 1: Elips´oide de equa¸ca˜o
1

y

x2
a2

2

x

2

+ yb2 + zc2 =

y

Figura 2: Elips´oide e interse¸co˜es com os planos z = k

Um elips´
oide ´e um conjunto de pontos que em algumsistema de coordenadas satisfaz a
equa¸ca˜o
1

x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1,
a2
b
c
em que a, b e c s˜ao n´
umeros reais positivos.

(1)

z

z

x

y

x

Figura 3: Elips´oide e interse¸co˜es com os planos y = k

y

Figura 4: Elips´oide e interse¸co˜es com os planos x = k

Observe que se (x, y, z) satisfaz (1), ent˜ao (x, y, −z) tamb´em satisfaz, por isso dizemos
que o elips´oide (1) ´e sim´etrico emrela¸ca˜o ao plano xy. Tamb´em (x, −y, z) satisfaz (1), por
isso dizemos que o elips´oide (1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao plano xz. O mesmo acontece com
(−x, y, z), por isso dizemos que o elips´oide (1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao plano yz. Se (x, y, z)
satisfaz (1), ent˜ao (−x, −y, z) tamb´em satisfaz, por isso dizemos que o elips´oide (1) ´e sim´etrico
em rela¸ca˜o ao eixo z. O mesmo acontececom (−x, y, −z), por isso dizemos que o elips´oide
(1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao eixo y. O mesmo acontece com (x, −y, −z), por isso dizemos
que o elips´oide (1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao eixo x. Finalmente se (x, y, z) satisfaz (1), ent˜ao
(−x, −y, −z) tamb´em satisfaz, por isso dizemos que o elips´oide (1) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o a`
origem.
Se |k| < c, o plano z = k intercepta oelips´oide (1) segundo a elipse
a2

x2
1−

k2
c2

+

b2

y2
1−

k2
c2

= 1,

z = k.

Observe que os eixos da elipse diminuem a` medida que |k| aumenta.
As interse¸co˜es do elips´oide (1) com o plano x = k, para |k| < a e com o plano y = k, para
|k| < b, s˜ao tamb´em elipses. Se a = b = c, o elips´oide ´e uma esfera de raio r = a = b = c.

2

1.2
1.2.1

Hiperbol´
oide
Hiperbol´
oide de Uma Folha
z

z

xy

x

Figura 5: Hiperbol´oide de uma folha de
2
2
2
equa¸ca˜o xa2 + yb2 − zc2 = 1

y

Figura 6: Hiperbol´oide de uma folha e interse¸co˜es com os planos z = k

Um hiperbol´
oide de uma folha ´e um conjunto de pontos que em algum sistema de
coordenadas satisfaz a equa¸ca˜o
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 = 1,
(2)
a2
b
c
em que a, b e c s˜ao n´
umeros reais positivos.
Observe que o hiperbol´oide de uma folha(2) ´e sim´etrico em rela¸ca˜o aos planos coordenados,
aos eixos coordenados e a` origem. Pois, se (x, y, z) satisfaz (2), ent˜ao (−x, y, z), (x, −y, z),
(x, y, −z), (−x, −y, z), (x, −y, −z), (−x, y, −z) e (−x, −y, −z) tamb´em satisfazem.
O plano z = k intercepta o hiperbol´oide de uma folha (2) segundo a elipse

a2

x2
1+

k2
c2

+

b2

y2
1+

k2
c2

= 1,

z = k.

Observe que os eixos da elipseaumentam a` medida que |k| cresce.
O plano y = k intercepta o hiperbol´oide de uma folha (2) segundo uma curva cuja equa¸ca˜o
´e
k2
x2 z 2

=
1

, y = k.
a2
c2
b2
Se |k/b| = 1, ent˜ao a interse¸ca˜o ´e uma hip´erbole e se |k/b| = 1, ent˜ao a interse¸ca˜o ´e um par de
retas concorrentes.
Considera¸co˜es semelhantes s˜ao v´alidas para a interse¸ca˜o do hiperbol´oide de uma folha (2)
com o plano x =k.
As equa¸co˜es
x2 y 2 z 2
− 2 + 2 =1
a2
b
c
3

e

x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
tamb´em representam hiperbol´oides de uma folha.


z

x

z

y

x

Figura 7: Hiperbol´oide de uma folha e interse¸co˜es com os planos y = k

1.2.2

y

Figura 8: Hiperbol´oide de uma folha e interse¸co˜es com os planos x = k

Hiperbol´
oide de Duas Folhas
z
z

x
x

y

y

Figura 10: Hiperbol´oide de duas folhas e...
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