Equivalência Lógica

Equivalência Lógica

DEFINIÇÃO:
Diz-se que uma proposição P é logicamente equivalente a uma proposição Q, se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas.
• As proposições P e Q são ditas equivalentes e escrevemos P <=> Q

Exemplo:
A
B
A  B
A AB
A B
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V

A AB <=> A B

TEOREMA:
A proposição P é equivalente à proposição Q, isto é: P <=> Q se e somente se a bi-condicional: P Q (1) é tautológica.

Se as proposições P e Q são equivalentes, então têm tabelas-verdade idênticas, e por conseguinte o valor lógico da bi-condicional (1) é sempre verdade, isto é, (1) é tautológica.
Reciprocamente, se a bi-condicional (1) é tautológica, então, a última coluna da sua tabela-verdade apresenta somente a letra V, e por conseguinte os valores lógicos respectivos das proposições P e Q são ambos verdade ou são ambos falsidade, isto é, estas duas proposições são equivalentes.

A AB <=> A B
A AB  A B

A
B
A  B
A AB
A B
A AB  A B
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V

Os símbolos  e <=> são distintos!

indica uma operação lógica
Aplicado ás proposições P e Q, resulta em uma nova proposição

<=> indica uma relação
Estabelece que a bi-condicional é tautológica
PROPRIEDADES:
Reflexiva: P <=> P
Simétrica: Se P <=> Q então Q <=> P
Transitiva: Se P <=> Q e Q <=> R, então P <=> R

ALGUMAS DAS EQUIVALÊNCIAS MAIS IMPORTANTES DA LÓGICA:

Leis da Comutatividade
P  Q <=> Q  P
P V Q <=> Q V P

Leis da Associatividade
(P  Q)  R <=> P  (Q  R)
(P V Q) V R <=> P V (Q V R)

Leis da Distributividade
P  (Q V R) <=> (P QV (P  R)
P V (Q  R) <=> (P V Q (P V R)

Leis de Morgan
(P  Q) <=> P V  Q
(P V Q) <=> P   Q

Leis da Idempotência
P  P <=> P
P V P <=> P

Lei da Dupla Negação
(P) <=> P

Lei da Condicional
P  Q <=> P V Q

Lei da Bi-condicional
P  Q <=> (P  Q)  (Q  P)
P  Q <=> (P  Q) V ( P  Q)

Lei da Contraposição
P  Q <=>  Q   P

Lei da