Logica matematica - equivalência lógica

Equivalência Matemática

Sejam A e B duas FBFS (formulas bem formadas) e sejam P, P,, ....Pn as letras sentenciais que ocorrem em A e B. Se os valores de A e B forem iguais para todos os n possiveis valores de P, P,, ... Pn, então podemos falar que A e B são equivalentes
Assim, os equivalentes são bicondicionais. A importancia da equivalencia logica encontra-se na possibilidade de uma expressão substituir outra em uma dada argumentação.

Ex: ~(~p)== P P | ~p | ~(~p) | V | F | V | F | v | V |

A ^ A == A A | A ^ A | V | V | F | F |

A v A == A A | A v A | V | V | F | F |

(A^~A) v B == B A | B | ~A | X = A^~A | X v B | V | V | F | F | V | V | F | F | F | F | F | V | V | F | V | F | F | V | F | F |

* Principais Equivalências

* Idempotência

A ^ A == A
A v A == A

* Dupla Negação

~(~A) == A

* Comutatividade

A ^ B == B ^ A
A v B == B v A

* Associatividade

A v (B v C) == (A v B) v C
A ^ (B ^ C) == (A ^ B) ^ C

* Lei de Morgan

~(A ^ B) == ~A v ~ B
~(A v B) == ~A ^ ~ B

* Distributividade

A v (B ^ C) == (A v B) ^ (A v C)
A ^ (B v C) == (A ^ B) v (A ^ C)

Exercicios:

1) Demonstre, utilizando tabela verdade, as seguintes equivalências:

a) A ^ B -> (A v B ) == A A | B | X = A v B | Y = A ^ B | X Y | V | V | V | V | V | V | F | V | F | F | F | V | V | F | F | F | F | F | F | V |

b) P v ( P ^ Q) == P

P | Q | P ^ Q | P v ( P ^ Q) | V | V | V | V | V | F | F | V | F | V | F | F | F | F | F | F |

c) P P ^ Q == P Q

P | Q | P ^ Q | P P ^ Q | P Q | V | V | V | V | V | V | F | F | F | F | F | V | F | V | V | F | F | F | v | v |

d) P Q v R == (P Q) ^ (P R)

P | Q | R | Q v R | P Q v R | V | V | V | V | V | V | V | F | V | V | V | F | V | V | V | V | F | F | F | F | F | V | V | V | V | F | V | F | V | V | F | F | V | V | V | F | F | F | F | V |

P | Q | R | X = P Q