Equaçoes diferenciais o

EDO: Queda dos Corpos com Resistência do Ar
Geralmente tratamos problemas de Física desprezando a resistência do ar para facilitar nossos cálculos. No entanto, essa resistência existe e, aqui, vamos ver uma equação diferencial para a queda de corpos considerando a resistência do ar.
Consideremos um corpo de massa m em queda livre vertical, onde atuam somente a força da gravidade g e a resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Precisamos admitir que tanto a gravidade como a massa deste corpo permaneçam constantes durante a queda.
Já vimos em outro artigo deste blog que, para corpos em queda livre, devemos adotar um sentido (para baixo ou para cima) como positivo. Convenientemente, vamos adotar o sentido para baixo como sendo sentido positivo.
Segundo a Segunda Lei de Newton: A força resultante que atua sobre um corpo é igual à taxa de variação da quantidade de movimento (momentum) do corpo, ou, para uma massa constante.

onde F é a força resultante que atua sobre o corpo e v é a velocidade do corpo, consideradas no instante t.
Num corpo em queda livre, há duas forças atuando sobre ele: a primeira é a força da gravidade g, dada pelo peso p do corpo, que é igual a mg:

A segunda força é devida à resistência do ar, dada por:

é uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se dá pelo fato desta força estar atuando no sentido contrário à queda do corpo, se opondo à velocidade, atuando no sentido para cima.

[Figura 1]
A força resultante será:

Se substituirmos (4) em (1), obteremos:

Agora, (5) é a equação de movimento do corpo. Para resolver esta equação, usamos a técnica de fator integrante dado por:

Multiplicando (6) por (5), obtemos:

Observe que o lado esquerdo de (7) é derivada da função:

Pois:

Assim, comparando (7) com (9), segue que:

Ou seja,

Usando o fato que v(0) = v0, segue que

que é a velocidade em cada instante.
Vejam que, se k = 0, temos que a resistência do ar é desprezível e a