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Capítulo 7

MÁXIMOS E MÍNIMOS
7.1 Introdução
Definição 7.1. Sejam A ⊂ Rn um conjunto aberto, f : A ⊂ Rn −→ R uma função e ε > 0 (pequeno).
1. Um ponto x0 é um ponto de mínimo local de f se existe B(x0 , ε), tal que: f (x0 ) ≤ f (x), para todo x ∈ B(x0 , ε)
2. Um ponto x0 é um ponto de máximo local de f se existe B(x0 , ε), tal que: f (x) ≤ f (x0 ), para todo x ∈ B(x0 , ε)
3. Em ambos os casos, x0 é dito extremo relativo ou local de f e f (x0 ) é dito valor extremo de f .

2

1

0

-1

-2
-2

-1

0

Figura 7.1:
Exemplo 7.1.
[1] Se z = f (x, y) = x2 + y 2 , então, (0, 0) é ponto de mínimo local de f .
De fato, x2 + y 2 ≥ 0, para todo (x, y) ∈ R2 .
0 = f (0, 0) ≤ f (x, y) = x2 + y 2 , para todo (x, y) ∈ Dom(f )
159

1

2

CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MÍNIMOS

160

e o valor mínimo é z = 0, que é atingido na origem.

2

1

0

-1

-2
-2

-1

0

1

2

Figura 7.2: Exemplo [1].
[2] Se z = f (x, y) = −x2 ; então {(0, y) ∈ R2 /y ∈ R} é um conjunto infinito de pontos de máximo locais de f .
De fato, −x2 ≤ 0, para todo (x, y) ∈ R2 e f (0, y) = 0. Logo f (x, y) ≤ f (0, y) para todo (x, y) ∈ R2 . Então, f atinge seu valor máximo 0 em qualquer ponto da reta
{(0, y) ∈ R2 /y ∈ R}.
2

1

0

-1

-2
-2

-1

0

1

2

Figura 7.3: Exemplo [2].
Teorema 7.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função de classe C 1 , definida no aberto A e x0 ∈ A um ponto extremo local de f . Então ∇f (x0 ) = ˜.
0
Para a prova, veja o apêndice.
Definição 7.2.
1. Um ponto x0 tal que ∇f (x0 ) = 0 é dito ponto crítico de f e f (x0 ) é dito valor crítico de f . Caso contrário, x0 é dito ponto regular de f e f (x0 ) valor regular de f .
2. Um ponto crítico que não é máximo local nem mínimo local é chamado de ponto de sela. 7.1. INTRODUÇÃO

161

Para n = 3, ∇f (x, y, z) = ˜ é equivalente a resolver o seguinte sistema de equações:
0

Analogamente para n = 2:


 ∂f (x, y, z) = 0

 ∂x






 ∂f
(x, y, z) =