Engenharia civil

Páginas: 9 (2028 palavras) Publicado: 22 de outubro de 2013
TEORIA DAS ESTRUTURAS - PROCESSO DE CROSS

PROCESSO DE CROSS
1-Introdução
O processo de cross foi idealizado e desenvolvido por Hardy-Cross em 1930 e
introduzido no Brasil pelo professor Cândido Holanda de Lima em 1941.
É um processo destinado a resolver estruturas hiperestáticas (vigas contínuas e
pórticos) por meio de aproximações sucessivas e de fácil execução por envolver
somente asquatro operações fundamentais.
Vejamos alguns conceitos necessários ao seu desenvolvimento.
2-Coeficiente de rigidez
Seja a barra monoengastada AB abaixo:

MA

Sendo MA um momento aplicado em A e ΘA a rotação provocada neste apoio,
chamamos coeficiente de rigidez, KBA a relação:

Valores usuais dos coeficientes de rigidez
Barra monoengastada

8ª Edição – 2013

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TEORIA DASESTRUTURAS - PROCESSO DE CROSS

Barra biengastada

Onde:
E= módulo de elasticidade do material constituinte da barra
I = Momento de inércia baricêntrico
EI = Rigidez a flexão

3-Coeficiente de distribuição
Chama-se coeficiente de distribuição d a parcela de contribuição de uma barra
qualquer ligada a um nó, a fim de equilibrá-lo sob o efeito de um momento externo M.

d=

K
ΣK4-Concepção do processo
Seja o nó A ligado às barras retas AB, AC e AD, submetida a um momento M:

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TEORIA DAS ESTRUTURAS - PROCESSO DE CROSS

O nó A submetido à atuação do momento M,sofre um deslocamento angular e
se equilibra.O deslocamento produziu nas diversas barras momentos resistente, cuja
soma será igual ao momento atuante e com sentido contrário:

M AB + M AC + MAD + M = 0 , no equilíbrio 1 pela definição do coeficiente de rigidez
temos:

K=

M
θ

ou

M=K× θ

2

Substituindo os valores dos momentos temos:

MAB = K AB × θ A
MAC = K AC × θ A
MAD = K AD × θ A

3

Levando 3 em 1 temos:

K AB .θ A + K AC .θ A + K AD .θ A + M = 0
θ A (K AB + K AC + K AD ) + M = 0
Fazendo

θA = −

M
ΣK

K AB + K AC + K AD = ΣK , temos:
4
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TEORIA DAS ESTRUTURAS - PROCESSO DE CROSS

Levando 4 em 3 temos:

K AB
× M = d AB × M
ΣK
K
= − AC × M = d AC × M
ΣK
K AD
=−
× M = d AD × M
ΣK

M AB = −
M AC
M AD

Os valores −

K
são chamados de coeficientes de distribuição, (geralmente
ΣK

colocados sem o sinal negativo nos quadros de cálculo).
A concepção do processo de Cross pode ser explicada daseguinte maneira:

“O momento atuante M se equilibra pelo aparecimento do momento
resistente –M, que apareceu nas barras que concorrem no nó A, dividindo-se
proporcionalmente à rigidez de cada uma delas

EI
.”
L

Deve-se notar que a soma dos coeficientes de distribuição das barras que
concorrem em um nó será:

Σd = Σ

K
ΣK
=
=1
ΣK ΣK

5-Convenção de Grinter
Adota-se a seguinteconvenção de sinais para os momentos que as barras
introduzem nos nós:
“O momento será positiva quando tende a girar o nó no sentido horário e
negativos em caso contrário.”

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6-Aplicação numérica detalhada
Resolver a viga contínua pelo processo de Cross, traçando os diagramas de
cortantes e fletores. Considerar duas casasdecimais.

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TEORIA DAS ESTRUTURAS - PROCESSO DE CROSS

Análise do sinal do momento XB:

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Verificação de equilíbrio:

ΣRv = R A + R B + R C = 1,25 + 7,50 + 3,25 = 12t

ΣCA = 1 x 4 + 2 x 4 = 12t (Ok)

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TEORIA DAS ESTRUTURAS - PROCESSO DE CROSS

7- Roteiro pararesolução de viga contínua de dois vãos pelo processo de
Cross.

A) Considerar todo apoio intermediário engastamento perfeito; apoio B na figura
acima

B) Calcular os coeficiente de rigidez K:

Na figura acima:

“ Observar o valor de EI em cada vão ”
C) Calcular ΣK e posicioná-la debaixo do apoio B.
D) Calcular os coeficientes de distribuição d .

d=

K
ΣK

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