Elípse

Exercícios

Elipse
1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resp: 3/5 ou 0,60.
2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x2 + 25y2 = 225.
SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
3 – Determine a distancia entre os focos da elipse 9x2 +25y2 – 400 =0.
SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia entre os focos será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).

Hipérbole

1. Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole x2/16 – y2/9 = 1. Resolução: a = 4 e b = 3. O centro da hipérbole está na origem e seu eixo real sobre o eixo x, então suas assíntotas são y = 3x/4. Como c2 = a2 + b2, então c = 5. Os focos são (– 5, 0) e (5, 0).

2. Encontre os focos e a equação da hipérbole com vértices
(0, 1) e (0, –1) e assíntota y = 2x. Resolução: O centro da elipse está na origem e seu eixo real sobre o eixo y, então a sua equação é da forma y2/a2 – x2/b2 = 1. Temos que a = 1 e b = 1/2. Como c2 = a2 + b2, então c = √5/2. Os focos são (0, √5/2) e (0, – √5/2) e a equação é y2 – 4x2 = 1.

3. Como as assíntotas foram dadas, temos o valor do quociente . De fato, de modo geral, as assíntotas são dadas por , quando o centro da hipérbole está na origem.
Então, como e , temos
, ou seja, a=2b.
Por outro lado, a distância focal 2c= , de onde temos c= .
Assim, utilizando a relação estabelecida entre os parâmetros que definem a hipérbole, temos:
c2=a2+b2