elipses

Geometria Analítica - Cônicas
Elipse
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, temos:

A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base. Elementos Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

focos : os pontos F1 e F2 centro: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b semidistância focal: c vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 eixo maior: eixo menor: distância focal:
Relação fundamental Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: a2 =b2 + c2
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.
Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.

Equações Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):

Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condições, a