Elipse

Elipse
Em geometria, uma elipse é um tipo de secção cônica: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intercete as duas folhas do cone, a intersecção entre o cone e o plano é uma elipse.
Em alguns contextos, pode-se considerar o círculo e o segmento de reta como casos especiais de elipses; no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.
A elipse tem dois focos, que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.
As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respetivamente, de semi-eixo maior (a) e semi-eixo menor (b).

Equações
Coordenadas Cartesianas
Algebricamente, uma elipse é a curva no plano cartesiano definida por uma equação da forma

tal que B² < 4 AC, onde todos os coeficiente são reais, e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (x,y) na elipse, existe. O caso A = C, A \ne 0, B = 0 corresponde ao círculo. Quando os eixos da elipse são paralelos aos eixos coordenados, a equação anterior torna a forma mais simples:

nde (h,k) é o centro da elipse, e a e b são os semi-eixos da elipse.

Outras equações úteis:
1) Centro na Origem:
a) Eixo maior paralelo ao eixo x:

b) Eixo maior paralelo ao eixo y:

2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como C(h,k):
a) Eixo maior paralelo ao eixo x:

b) Eixo maior paralelo ao eixo y:

Coordenadas polares
Em coordenadas polares, existem duas formas principais de se descrever a elipse:

a) Com origem no centro da elipse:

b) Com origem em um dos focos: