Derivação Implícita

Parte A. Derivação Implícita

Definição: Função y=f(x) definida implicitamente pela equação F(x,y)=0
Uma função y=f(x) está definida implicitamente pela equação F(x,y)=0, se ao substituirmos y por f(x) em F(x,y)=0, esta equação se transforma numa identidade (k = k, k real). Exemplos:
i) Seja a equação F(x,y)= x2 + ½(y) – 1 = 0. F(x,y) define implicitamente a função y=2(1 – x2), pois ao substituir y=2(1 – x2), em F(x,y), obtemos a identidade 0 = 0. ii) A equação x2 + y2 = 4 define, implicitamente, as funções , cujos gráficos são semicírculos positivos e negativos, bem como a função abaixo, definida em

h(x), para um determinado c, entre As várias funções h(x), no ponto c, não é contínua. Portanto, h(x) não é derivável.
Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função, definida implicitamente, como é o caso da F(x,y) = y4 + 3xy + 2.lny = 0. Contudo é possível derivá-la, com auxílio da regra da cadeia, mesmo na forma implícita.

Derivando função F(x,y) na forma implícita

Processo: 1) Derivamos ambos os membros da equação F(x,y) em relação a x e a y, aplicando as regras de derivação. Mas, ao derivar em relação a y, aplicamos a regra da cadeia. 2) Após, isolamos y’.
Exemplos:
i) Sabendo que y=f(x) é uma função derivável definida implicitamente pela equação x2+y2=4, determinar y’. Solução: Assim temos: (x2+y2)’ = 4’  2x+2yy’= 4’ 2yy’ = 0 – 2x  y’ = -x/y. ii) Sabendo que y=f(x) é derivável e definida pela equação xy2 +2y3 = x – 2y, determinar y’.
Solução: (xy2 +2y3 )’= (x – 2y)’  (xy2 )’+ (2y3 )’= (x)’ – (2y)’ [y2(x)’ +x.(y2)’] + 2.(3.y2).y’ = 1 – (2.1).y’ y2 +2xy.y’ +6y2.y’ = 1 – 2.y’  y’.(2xy + 6y2 + 2) = 1 – y2  y’ = (1 – y2)/ (2xy + 6y2 + 2).
Exercícios:
1) Se y=f(x) é definida por x2y2 + x.sen y = 0, determinar y’.
2) Determinar a equação da reta tangente à curva x2 + (½ )y – 1 = 0 , no ponto (-1, 0).
3) Calcular y’=dy/dx