Derivadas Implicitamente

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Departamento Acadêmico de Engenharia Civil

MATHEUS FAJARDO BORTOLI

Derivação de Função dada Implicitamente

Toledo
2014
MATHEUS FAJARDO BORTOLI

Derivação de Função dada Implicitamente

Pesquisa apresentada ao professor Jonnes Valentim De Oliveira, da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do curso de Engenharia Civil, da Universidade Tecnológica Federal do Paraná- Campus Toledo, da turma do primeiro período.

TOLEDO
10 de junho 2014
1 INTRODUÇÃO
A pesquisa tem o objetivo de definir e exemplificar alguns casos em que a derivação de uma função ocorre de modo implícito. Sempre que temos uma função escrita na forma y = f(x), função de y em relação à x, dizemos que y é uma função explícita de x, já que podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função do outro. Mas, nem sempre isso é possível ou necessário. E quando isso ocorre, pode-se dizer que y é uma função implícita de x.

2 DERIVADAS DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS
A derivada de uma função implícita é feita pelo método da diferenciação implícita, segundo o qual derivamos cada termo da equação em relação a x. Ao aplicar a diferenciação implícita, muitas vezes é necessário considerar Dx(yn) para alguma função desconhecida y de x, digamos y=f(x). Pela regra da potência podemos escrever Dx(yn) em qualquer uma das seguintes formas:

Dx(yn)=n.yn-1. Dx(y)= n.yn-1.y` = n.yn-1.

Como a variável dependente y representa a expressão f(x), é essencial multiplicar n.yn-1 pela derivada y` ao diferenciarmos y em relação a x. Assim, Dx(yn)≠n.yn-1, a menos que y=x. Por exemplo, a equação 2x+3y=1 pode ser resolvida em função de x obtendo-se y=-, o que acarreta y`=-. A última técnica é denominada derivação implícita.

Processo para derivação implícita Dada uma equação na qual se estabelece y implicitamente como uma função diferenciável de x,