Derivada

CONCEITO DE DERIVADA

De um ponto de vista geométrico, o conceito de derivada está relacionado com o de tangência. Já do ponto de vista da Dinâmica (ciência que estuda os movimentos), a velocidade escalar (instantânea) é uma derivada e a aceleração também. Nestes dois últimos casos vê-se a derivada como taxa de variação. Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando uma, da qual ela depende, a outra varia. Ex.: a velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo.

Uma análise do quarto paradoxo de Zenon nos leva ao conceito de velocidade instantânea. [pic]

Assim, a velocidade média envolve o lapso de um certo tempo e as posições do ponto no início e no final desse lapso. É uma noção fundamental, mas ainda um tanto grosseira, insuficiente para explicar que, em cada instante fixado entre t0, t1 e t2, o ponto está em movimento e tem algo que o diferencia de um ponto em repouso: uma velocidade não nula em t0, uma grandeza intrínseca do movimento, isto é, uma que não depende de lapsos, mas está associada somente ao instante t0. Como defini-la?

A idéia é tomar velocidades médias em lapsos entre instantes t e t0, e definir a velocidade instantânea em t0 como [pic]

ou seja, [pic]

Essas observações contêm o conceito de derivada.

Consideremos a questão de definir a reta tangente a uma curva y=f(x) (isto é, o gráfico de f, que denotaremos por G(f)) num ponto p =(a,b), b =f(a), onde f é uma função definida numa vizinhança de a.

O que fazemos é considerar uma secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (a,b) e por (x,y) de G(f). Depois “deslizamos’’ (x,y) ao longo do gráfico aproximando-o do ponto (a,b). Pode ocorrer que neste processo as secantes tendam para uma ”reta limite’’. Quando este for o caso, diremos que a curva y=f(x) tem uma reta tangente no ponto (a,b) e que a mencionada reta limite é a reta tangente à curva y=f(x), no ponto (a,b).

É instrutivo imaginar