Cônicas

CÔNICAS

2013
DESENVOLVIMENTO

Cônica é toda a linha que se obtém como intersecção de um plano com uma superfície cônica. Uma superfície cônica de revolução é a superfície gerada pela rotação completa de uma reta chamada de geratriz em torno de outra reta, ou seja, o eixo formando com esta sempre o mesmo ângulo, até completar uma volta completa. O ponto comum à geratriz e ao eixo chama-se vértice. Quando o plano que intersecta a superfície cônica passa pelo vértice, a secção obtida é uma cônica degenerada. Caso contrário, obtemos cônicas não degeneradas.

1. Se o plano secante intersecta todas as posições da geratriz e o eixo, a linha obtida é:

Um ponto; se o plano passa pelo vértice, elipse degenerada.
Uma elipse; se o plano não passa pelo vértice e é oblíquo em relação ao eixo, se em particular o plano é perpendicular ao eixo, a elipse obtida é uma circunferência

2. Se o plano secante é paralelo ao eixo, a linha obtida é:

Uma hipérbole: se o plano não passa pelo vértice
Duas retas concorrentes: se o plano passa pelo vértice, hipérbole degenerada

3. Se o plano secante é paralelo apenas a uma posição da geratriz, a linha obtida é:

Uma parábola: se o plano não passa pelo vértice
Uma reta: se o plano passa pelo vértice, parábola degenerada

Para René Descartes (1596 – 1650) a generalização das cônicas era a forma para identificar as equações do 2º grau. Mas nem todas as equações do 2º grau representam cônicas. As curvas definidas por equações do 2º grau em x e y do tipo:

ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0

As cônicas classificam-se em três grupos:
Classificação das cônicas
Elipse (um ponto)
∆ < 0
Parábola (uma reta)
∆ = 0
Hipérbole (hipérbole degenerada)
∆ > 0

Com ∆ = b² - 4ac

Uma equação do 2º grau pode também definir um conjunto vazio, x² + y² + 5 = 0.
Em particular, as equações do tipo ax² + cy² + dx + ey – f = 0 (b = 0), definem cônicas com os eixos de