conicas

Translação de cônicas
Definição. Sejam
XY
e
X Y' ' dois sistemas de coordenadas retangulares cartesianos e seja
O h k ' ,   a origem do sistema
X Y' ' em relação ao sistema XY. Diz-se que o sistema
X Y' ' é uma translação do sistema XY quando os eixos
OX
e OX’ bem como OY e OY’ são paralelos e tem a mesma orientação, e h, k não são ambos nulos, como mostra a Figura a seguir. Figura 6.12
Sejam
 x y ', ' as coordenadas de um ponto P no sistema
X Y' ' e  x y,  as coordenadas do mesmo ponto no sistema XY. Então, estas coordenadas estão relacionadas da seguinte forma: '
'
x x h y y k
  

   (19)
Com base nessas relações, chamadas de relações de translação, as equações das cônicas com translação são obtidas.
Equação de translação da elipse
Considere uma elipse no sistema
X Y' ' com a equação canônica:1
' '
2
2
2
2
  b y a x .
A elipse tem centro na origem do sistema
X Y' ' e seus eixos focal e normal concidem com
O X' ' e OY' '
, respectivamente, como mostra a Figura: Figura 6.15
Sejam
 x y ', ' e  x y,  as coordenadas de um mesmo ponto da elipse nos se
XY
, respectivamente. Usando as relações de translação x x h '
  e y y k '
 
, obtemos:




2
2
2
2
( ) ( ) b y k a x h
1 (20)
Esta é a equação da elipse no sistema
XY
, chamada de equação de translação da elipse.
Essa equação representa uma elipse com centro no ponto
h k,  e eixos focal e normal paralelos aos eixos
OX
e
OY
, respectivamente. No sistema
XY
o eixo focal é a reta y k  e o eixo normal é a reta x h  .
Exemplo. Obter a equação de translação da elipse com centro no ponto
P2,1
, semi-eixo maior igual a 5 e semi-eixo menor igual a 2. Determine seus vértices e focos.
Solução. Pelas informações dadas tem-se a  5 e b  2 , h  2 e k 1 e a equação é2 2 ( 2) ( 1) 1
25 4 x y  
 
A elipse tem vértices
V1 3,1, V2 7,1, A1 2,3, A2 2, 1 
. Usando a relação