conicas

Equacoes Param´ tricas para as Cˆ nicas e Qu´ dricas
¸˜
e o a
A utilizacao das equacoes param´ tricas, principalmente em R3 , facilitam o esboco dos
¸˜
¸˜ e ¸ gr´ ficos em programas gr´ ficos, como o Winplot, bastando para tanto escolher a opcao a a
¸˜
Equacao/Param´ trica e definir, como intervalos para os parˆ metros t ∈ [−3, 3] e u ∈ [0, 2π]
¸˜
e a (esta escolha depende muito do tipo da equacao).
¸˜
Obs.: No Winplot a funcao sen(x) = sin(x).
¸˜

1

Qu´ dricas a 1.1 Elips´ ide o Considerando o centro C = (xo , yo , zo ) e o eixo de “rotacao” paralelo ao eixo x, te¸˜ mos: 1.2.2

de duas folhas

(x − xo )2 (y − yo )2 (z − zo )2
+
−
= −1 a2 b2 c2 (x − xo )2 (y − yo )2 (z − zo )2
+
+
=1
a2 b2 c2

E:

√

 x = xo + a cos(u)√ t 2 − 1
H2 : y = yo + b sin(u) t 2 − 1

z = zo + ct

 x = xo + a cos(t) sin(u) y = yo + b cos(t) cos(u)
E:
 z = zo + c sin(t)

1.3 Parabol´ ide o Considerando o v´ rtice V = (xo , yo ) e o e eixo de “rotacao” paralelo ao eixo z, temos:
¸˜

1.2 Hiperbol´ ide o Considerando o centro C = (xo , yo ) e o eixo de “rotacao” paralelo ao eixo z, temos:
¸˜
1.2.1

de uma folha

1.3.1

El´ptica ı PE :

(x − xo )2 (y − yo )2
+
= (z − zo ) a2 b2

(x − xo )2 (y − yo )2 (z − zo )2
+
−
=1
a2 b2 c2

√

 x = xo + a cos(u)√ 1 + t 2
H1 : y = yo + b sin(u) 1 + t 2

z = zo + ct


√
 x = xo + a cos(u)√ t y = yo + b sin(u) t
PE :

z = zo + t

1.3.2

Hiperb´ lica o PH :

(x − xo )2 (y − yo )2
−
= (z − zo ) a2 b2


 x = xo + at y = yo + bu
PH :

z = zo + t 2 − u2

E:

(x − xo )2 (y − yo )2
+
=1 a2 b2

E:

x = xo + a cos(t) y = yo + b sin(t)

2.2 Hip´ rbole e 1.4 Cone El´ptico ı Considerando o centro C = (xo , yo , zo ) e o eixo de “rotacao” paralelo ao eixo z, te¸˜ mos: Considerando o centro C = (xo , yo ) e o eixo focal paralelo ao eixo x, temos:
H:

(x − xo )2 (y − yo )2
−
=1 a2 b2