conicas

Cônicas

As circunferências e as cônicas (elipse, hipérbole e parábolas) são curvas que também podem ser representadas no plano cartesiano e cuja propriedade obedecida pelos seus pontos de descrita por meio de uma equação de duas variáveis.
A circunferência e a elipse podem ser vistas a partir de seções de um cilindro circular; a elipse não passa de uma circunferência alongada em uma das duas direções.
Os quatro tipos de curvas podem ser vistos como seções de uma superfície cônica.

Elipse
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.

Assim é que temos por definição:

PF1 + PF2 = 2 a

Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse.

O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.

2 – Equações reduzidas da elipse

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos.
Sendo 2.a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:

PF1 + PF2 = 2.a

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:

b2.x2 + a2.y2 = a2.b2, onde b2 = a2 – c2

Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:

Veja a figura abaixo, que é elucidativa: NOTAS:
1 – o eixo A1A2 é denominado eixo maior da elipse.
2 – o eixo B1B2 é denominado eixo menor da elipse.
3 – é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abscissa de um dos focos da elipse.
4 – como a