Conicas

conicas

FACULDADES METROPOLITANAS UNIDAS

Alanna Gabriele da Silva
Edna Lucia
Guilherme Seidy Morimoto

CÔNICAS

SÃO PAULO
2012

Cônicas

As cônicas são curvas planas que se originam da interseção de cone circular por um plano. As diversas posições desse plano em relação ao cone dão origem a cônicas particulares muito importantes, como veremos a seguir.
Cônicas como seções planas do cone
Considere um cone circular de vértice V e eixo r, cujas geratrizes formam ângulo θ com o eixo do cone.
Seja π o plano que secciona o cone. Temos então os seguintes casos para a interseção do cone com o plano:

A. Se o plano π é perpendicular ao eixo do cone, mas não passa pelo vértice V, então a seção é uma circunferência. Logo, uma circunferência é uma cônica.
B. Se π é paralelo a uma geratriz do cone e não contém V, então a curva de interseção é uma parábola.
C. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é maior que o ângulo θ entre o eixo e a geratriz, e π não passa pelo vértice, a interseção é uma elipse. Um caso extremo é quando o ângulo é π/2, e a elipse se torna uma circunferência.
D. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é menor que o ângulo θ entre o eixo e a geratriz, e π não passa pelo vértice, então a interseção contém pontos nos dois lados do cone em relação ao vértice e a curva resultante é chamada de hipérbole.
E. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ˆangulo entre π e o eixo é igual a θ, a interseção resulta em uma reta, que é uma reta geratriz.
F. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ângulo entre π e o eixo é menor que θ, a interseção resulta em um par de retas concorrentes.
G. Quando o plano π passa pelo vértice V, e o ângulo entre π e o eixo é maior que θ, a interseção resulta em um ponto, mais precisamente, o vértice V.
As cônicas obtidas como interseção do cone por planos passando pelo vértice V são exemplos de cônicas tidas como degeneradas.
Existem mais dois outros casos de