Aula 6 Introdu O Aos Limites

Páginas: 5 (1062 palavras) Publicado: 26 de junho de 2015
INTRODUÇÃO
AOS LIMITES
Professora:
Aparecida Mucci Castanheira

A idéia intuitiva de Limite
1º Exemplo

Parte
colorida

1
2

Parte
colorida

1 1 3
 
2 4 4

Parte
colorida

1 1 1 7
  
2 4 8 8

E assim sucessivamente e indefinidamente, a área da região
colorida resultante vai tendendo a 1. Observemos como os
valores 1/2,3/4,7/8 vão se aproximando de 1.
Dizemos que o limite dessedesenvolvimento é igual a 1.

A idéia intuitiva de Limite
2º Exemplo:
Consideremos a seqüência abaixo:

1
exp licitada
x

por

1 1 1
1
1
1
, , , ... , , ... ,
, ... ,
, ...
1 2 3
10
100
1000
1 , 0,5 , 0,33 , ... , 0,1 , ... , 0,01 , ... , 0,001 ...
Observemos que,à medida que x cresce, o valor da
seqüência vai se aproximando de 0. Dizemos que o limite
da seqüência é 0.

Limites de funções
Consideremos ográfico da função f: R→R definida por
f(x) = x – 1

Observemos que, à
medida que os valores
de x se aproximam de 4
(pela direita e pela
esquerda) os valores da
função se aproximam
cada vez mais de 3

x
F(x)

3,9

3,99

3,999

3,9999

...

4,0009 4,009

4,09

4,9

2,9

2,99

2,999

2,9999

...

3,0009 3,009

3,09

3,9

Assim, podemos escrever que:
 o limite de f(x) quando x tende a 4 pela esquerda éigual a
3, e indicamos:
lim f  x  3
x 4 

 o limite de f(x) quando x tende a 4 pela direita é igual a 3,
e indicamos:
lim f  x  3
x  4

lim f  x  3
x 4

lim f  x  3
x 4

Esses limites são chamados limites laterais
e, como são iguais podemos escrever:

lim f  x  3
x 4

Definição (informal) de Limite
À medida que os valores de x se
aproximam de um número a,
pela esquerda epela direita, e, L
em conseqüência, os valores
de f(x) se aproximam cada
vez mais de um número L,
dizemos que o limite de f(x)
quando x tende a a é igual a L
e escrevemos:

lim f  x  L
x a

f(x)


a

Dado o gráfico determine os limites:

1
3

-1
-2
-1
-1,5

4

Dado o gráfico determine os limites:

a) lim f  x 


b) lim f  x 


c) lim f  x 

d ) lim f  x 


e) lim f  x 


f)lim f  x 

g ) lim f  x 

h) lim f  x 

i) lim f  x 

j ) lim f  x 

k) lim f  x 

l) lim f  x 

m) lim f  x 

n) lim f  x 

o) lim f  x 

p) lim f  x 

q) lim f  x 

x  2

x  1
x 0

x 3



x 4



x  

x  2

x  1
x 0

x 3



x 4



x  

x  2

x  1
x 0

x 3

x 4

8

4
3
2
-6

-4
1
-3

2

5

Dado o gráfico determine os limites:

a) lim f  x


b) lim f  x 


c) lim f  x 

d ) lim f  x 


e) lim f  x 


f) lim f  x 

g ) lim f  x 

h) lim f  x 

i) lim f  x 

j ) lim f  x 

k) lim f  x 

l) lim f  x 

m) lim f  x 

n) lim f  x 

o) lim f  x 

p) lim f  x 

q) lim f  x 

x  6

x  4
x 0

x 2





x  5

x  

x  6

x  4
x 0

x 2





x  5

x  

x  6

x  4

x 0

x 2

x 5 Propriedades dos limites:
1ª)

O

limite

da

soma

é

a

soma

dos

limites.

  

O limite da diferença é a diferença dos limites.

lim  f ( x)  g ( x) lim f ( x)  lim g ( x)
x a

x a

x a

lim  f ( x)  g ( x) lim f ( x)  lim g ( x)
x a

x a

x a

Exemplo :

lim  x
x 2

3



  lim 3x   lim  4 x  2

 3 x 2  4 x lim x 3 
x 2

2

x 2

3

 3. 2  4.2 8  12  84
2

x 2

2ª) O limite do produto é o produto dos limites.

lim  f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)
x a

x a

x a

3ª) O limite do quociente é o quociente dos limites desde que
o denominador não seja zero.
f ( x)
f ( x) lim
x a
Exemplo :

lim
x  a g ( x)
lim g ( x)


2x
lim
2
x
4


x 2


lim 
x 2  3x  1 
lim  3 x  1 5
x 2

x a

4ª) Se s for um número real não nulo ef(x) > 0 para todo o x
do domínio de f, então



lim  f ( x)  lim f ( x)
s

x a

s

x a

Exemplo :

3


2
x

4
 lim  2 x  4 
lim

 x  1

x  1









3

 2 8
3



3
lim 4 x  3 x 3 lim 4 x  3x  4 3  3 3 3  36  9  25
3

x 3

2

x 3

2

3

2

5ª)

g ( x)
f
(
x
)
lim
x a



g ( x)
lim
lim f ( x) x a
 x a


Exemplo : lim 2 x 2  3
x 2...
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