APLICA ES DAS DERIVADAS AO ESTUDO

APLICAÇÕES DAS DERIVADAS AO ESTUDO
GRÁFICO DE FUNÇÕES
Teorema: Seja f (x) uma função contínua no intervalo [ ] a, e diferenciável b no intervalo ] [ a, . b
1. Se f ′(x) > 0 ∀x ∈ ] [ a,b , então ) f (x é estritamente crescente em ] [ a, ; b
2. Se 0 f ′(x) < ∀x ∈ ] [ a,b , então ) f (x é estritamente decrescente em
] [ a, ; b
3. Se 0 f ′(x) = ∀x ∈ ] [ a,b , então ) f (x é constante em ] [ a, . b
NOTA 1: Se ) f (x é uma função contínua e diferenciável num determinado intervalo então a função só passa de decrescente a crescente ou vice-versa se, num certo ponto 0x desse intervalo, o declive da recta tangente é zero. Nesses pontos a função tem um valor mínimo ou máximo, respectivamente. A esses pontos chamaremos extremos relativos da função.
Definição: Df x0 ∈ diz-se ponto crítico (ponto estacionário) de ) f (x se f ′(x0 ) = 0 ou ) ( 0 f ′ x não existe.
NOTA 2: Os pontos críticos são possíveis extremos relativos de ) f (x .
Definição: Seja 0x um ponto crítico de ) f (x e ] [ a, um intervalo aberto b contendo 0x . Supondo que ) f (x é uma função contínua no intervalo [ ] a, e b diferenciável no intervalo ] [ a, , excepto possivelmente em b 0x , então:
• f (x) tem um máximo relativo em 0x sse ∀x ∈ ] [ a,b , 0 ( ) fe
′ x0 > e fd ′(x0) < 0;
• f (x) tem um mínimo relativo em 0x sse ∀x ∈ ] [ a,b , 0 ( ) fe
′ x0 < e fd ′(x0 ) > 0 .
Pontos Fronteiros:
• f (x) tem um máximo relativo em a sse 0 fd
′ (a) <
• f (x) tem um mínimo relativo em a sse 0 fd
′ (a) >
• f (x) tem um máximo relativo em b sse 0 fe
′(b) >
• f (x) tem um mínimo relativo em b sse 0 fe
′(b) <
Teorema: Seja ) f (x uma função contínua no intervalo [ ] a, e duas vezes b diferenciável no intervalo ] [ a, . b
1. Se 0 f ′′(x) > ∀x ∈ ] [ a,b , então ) f (x tem concavidade voltada para cima em ] [ a, ; b
2. Se 0 f ′′(x) < ∀x ∈ ] [ a,b , então ) f (x tem concavidade voltada para baixo em ] [ a, ; b
Definição: Df x0 ∈ diz-se ponto de inflexão se ) f (x muda o sentido da concavidade em 0x .
Definição: Df x0 ∈ diz-se ponto