Analise do filme deus e brasileiro

Descrevendo Regioes no Plano Cartesiano
˜
e no Espa¸o Euclidiano c Americo Cunha
D´bora Mondaini e Ricardo S´ Earp a Departamento de Matem´tica a Pontif´ Universidade Cat´lica do Rio de Janeiro ıcia o

1

Regi˜es no Plano o Nos exemplos a seguir desejamos descrever regi˜es como uni˜es de regi˜es, onde o o o cada uma destas ser´ descrita em um dos dois formatos padr˜es: a o a ≤ x ≤ b e f (x) ≤ y ≤ g (x) ,

“Tipo II”: R = (x, y ) ∈ R2

ou

“Tipo I”: R = (x, y ) ∈ R2

c ≤ y ≤ d e h(y ) ≤ x ≤ j (y ) ,

explicitando o intervalo [a, b] ou [c, d] e as fun¸˜es f e g ou h e j . co Exemplo 1.1 Considere a regi˜o do plano definida por a R1 = (x, y ) ∈ R2

x2 ≤ y ≤ 1 − x2 .

Para descrever R1 como uma regi˜o de “Tipo I”, tomaremos f (x) = x2 e g (x) = a 2
1 − x . Os gr´ficos dessas fun¸˜es se intersectam nos pontos do plano cujas abscissas a co
√
√
2
2
2
2 satisfazem a equa¸˜o x = 1 − x , i.e., x = ca ou x = −
. Assim, temos que
2
2
√
√
2
2
2
R1 = (x, y ) ∈ R
−
≤x≤ e x2 ≤ y ≤ 1 − x2 .
2
2
Um esbo¸o da regi˜o R1 pode ser visto na Figura 1. c a
A fronteira de R1 ´ a uni˜o das seguintes curvas: e a
√
C1 =

C2 =

(x, y ) ∈ R2

y = 1 − x2

2

(x, y ) ∈ R

y=x
1

2

√
2
2 e− ≤x≤
2
2
√

√
2
2 e− ≤x≤
2
2

,

.

y

1
1
2

−

√

√

2
2

2
2

x

Figura 1: Esbo¸o da regi˜o R1 . c a
Vamos agora descrever R1 como uma regi˜o de “Tipo II”. Para isso, ser´ necesa a s´rio escrever as curvas de sua fronteira atrav´s de equa¸˜es da forma x = h(y ): a e co √ y = x2
⇔ x=± y y = 1 − x2 ⇔ x = ± 1 − y .

Devemos dividir R1 em duas sub-regi˜es para poder descrevˆ-la no formato deo e sejado, como indicado na Figura 2. y R1
R1
x

Figura 2: Divis˜o horizontal da regi˜o R1 . a a
Ent˜o R1 = R1 ∪ R1 , onde a R1 =
R1 =

(x, y ) ∈ R2

(x, y ) ∈ R2

0≤y≤

1
√
√ e − y≤x≤ y ,
2

1
≤y≤1 e −
2

1−y ≤x≤

1−y .

Exemplo 1.2 Agora