ajuste de curva

Páginas: 15 (3512 palavras) Publicado: 20 de maio de 2014
Unidade 5 – Ajuste de Curvas

As relações entre as variáveis envolvidas em um experimento podem ser classificadas em três tipos: determinísticas, semideterminísticas e empíricas.
Nas relações determinísticas, as variáveis estão frequentemente relacionadas entre si por algum tipo de lei que p ode ser expressa por intermédio de uma equação matemática precisa e qualquer variação nasobservações é atribuída a erros experimentais.
Já nas relações semideterminísticas, alguma teoria prescreve uma forma para a relação entre as variáveis, mas não os valores particulares dos parâmetros que aparecem na relação. Então, faz-se necessário realizar experimentos para obter informações acerca desses parâmetros.
Quando as relações entre as variáveis envolvidas não são conhecidas, têm-se as chamadasrelações empíricas. O que se busca, neste caso, é justamente determinar uma equação matemática que relacione essas variáveis.
Um gráfico feito com valores observados dessas variáveis fornece uma ideia da relação entre elas com algumas variações aleatórias. Somente após suficiente conhecimento sobre uma relação empírica é possível desenvolver uma teoria que conduza a uma relação funcional e a umcaso semideterminístico.
O objetivo da teoria de “Ajuste de Curvas” é relacionar, por meio de um modelo matemático, a variável resposta (dependente) com o conjunto de variáveis explicativas (independentes) para ter controle, determinar algum parâmetro ou mesmo fazer previsão acerca do comportamento da variável resposta.

5.1 - Regressão linear simples.
As relações mais simples entre duasvariáveis são as relações lineares.
A variável independente x é relacionada com a variável dependente y por meio de um modelo linear, por exemplo, .

- Diagrama de dispersão
Uma etapa preliminar importante, ao analisar a relação entre duas variáveis, é esboçar os dados em um gráfico de coordenadas cartesianas denominado diagrama de dispersão.
Este diagrama mostra a natureza da relaçãointrínseca entre as duas variáveis estudadas.
Sejam, por exemplo, os dados da Tabela 5.1 relacionando as variáveis x e y.
Tabela 5.1 – Variáveis explicativas x e as respostas y.
x
0,3
2,7
4,5
5,9
7,8
y
1,8
1,9
3,1
3,9
3,3

O diagrama de dispersão dos dados da Tabela 5.1 é mostrado na Figura 5.1.
Pode-se observar uma relação aproximadamente linear entre as variáveis explicativas x e asrespostas y.

Figura 5.1 – Diagrama de dispersão.

- Retas de regressão
Um modelo simples que relaciona duas variáveis x e y é:


onde são os parâmetros a serem estimados e contém os componentes desconhecidos e aleatórios de erro que se sobrepõem à verdadeira relação linear.
O problema está em como estimar os parâmetros .
A primeira tentativa (modelo 1) pode ser obtida porintermédio de um polinômio interpolador linear.
Pela Figura 5.1, é possível perceber que não se pode traçar uma única reta que passe por todos os pontos simultaneamente.
Por isso, a reta será esboçada a partir de dois pontos quaisquer, por exemplo, o primeiro e o último, mostrados a seguir:
x
0,3
7,8
y
1,8
3,3

A equação da reta que passa por estes dois pontos pode ser obtida por:


AFigura 5.2(a) mostra a reta traçada entre os pontos do diagrama de dispersão.

Figura 5.2 – Dois exemplos de ajustes lineares.
A distância vertical entre o i-ésimo ponto dado e o ponto , de mesma abscissa e pertencente à reta é
Um modo de verificar a qualidade do ajuste é calculando a soma de todas as n distâncias verticais de aos pontos da reta , considerando valores positivos de .A Tabela 5.2 mostra os resultados do ajuste pelo modelo 1:
Tabela 5.2 – Resultados do ajuste pelo modelo 1





1
0,3
1,8
1,80
0,00
2
2,7
1,9
2,28
-0,38
3
4,5
3,1
2,64
0,46
4
5,9
3,9
2,92
0,98
5
7,8
3,3
3,30
0,00


A segunda tentativa (modelo 2) para obter um ajuste consiste em traçar a reta por dois pontos quaisquer, porém que não pertençam,...
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