Hiperbolóides

forma estrutural da Catedral de Brasília, como mostra as figuras 2.7 e 2.8, é fruto das possibilidades técnicas do betão armado e da genialidade do engenheiro Joaquim Cardozo, que elaborou o cálculo estrutural na época da sua construção. Os 21 hiperbolóides de 40m de altura, inicialmente propostos por Niemeyer, foram reduzidos, por questões de estética, para 16 pilares de 30 m. Da mesma forma, o anel de betão de base, imaginado inicialmente com 70m de diâmetro, apoiado no chão e servindo…

rectas. Assim, apenas as superfícies dos poliedros - prismas e pirâmides, por exemplo - e as superfícies de simples curvatura - cones e cilindros, por exemplo - são rigorosamente planificáveis. As restantes superfícies (empenadas ou não regradas) hiperbolóides e elipsóides, por exemplo - só podem ser planificadas de um modo aproximado, através da sua decomposição em troços planificáveis. -19- Prisma Regular Considere-se o prisma hexagonal regular representado em perspectiva e…

parênteses, alinhados à direita. Na sequência normal do texto, é permitido o uso de uma entrelinha maior que comporte seus elementos (expoentes, índices e outros). Exemplo: (1) x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (elipsóide) (2) x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1 (hiperbolóide de uma folha) (3) ax2 + bx + c = 0 (fórmula de Bhaskara) Notas de rodapé As notas de rodapé são digitadas dentro das margens da caixa de rodapé, ficando separadas do texto por um espaço simples entre linhas e por filete de 3 cm, a…

5/25/13 12 6:33 AM Page 707 Vetores e a Geometria do Espaço David Frazler/Corbis Mark C. Burnett/Photo Researchers, Inc Exemplos de superfícies e sólidos que estudamos neste capítulo são paraboloides (usados para antenas parabólicas) e hiperboloides (usados para torres de resfriamento de reatores nucleares). Neste capítulo apresentamos vetores e sistemas de coordenadas para um espaço tridimensional. Esta será a definição para o nosso estudo do cálculo de funções de duas variáveis…

y2 = 3z. 5. O segmento de reta da origem ao ponto (a, b) gira em torno do eixo x. Encontre a área da superfície do cone gerado. 6. Encontre a área da porção do plano x = z que está compreendida entre os planos y = 0 e y = 6 e interior ao hiperbolóide 9x2 – 4y2 + 16z2 = 144. 72 UNIDADE V Teorema de Green Cálculo II – Teorema de Green Teorema 1 (Teorema de Green). → TEOREMA DE GREEN Seja U um aberto de R2 e F = (F1, F2) um campo vetorial de classe C1 sobre U.…

= 0. Portanto x z + = 0 a c y = k. Se k 2 = b2 , podemos devidir ambos os membros da primeira equa¸˜o do sistema ca que descreve a interse¸˜o por q = 1 − k2 e obter o sistema equivalente ca b  2 2  x − z = 1 qa2 qc2  y= k 2 ´ 4.3. HIPERBOLOIDE 99 1. Se q < 0 isto ´, se k < −b ou k > b, a interse¸˜o ser´ uma hip´rbole contida no e ca a e plano, de centro no ponto (0, k, 0) e focos na reta (0, k, 0) + α(0, 0, 1). e ca a e 2. Se q > 0 isto ´, se −b < k…

forma estrutural da Catedral de Brasília, como mostra as figuras 2.7 e 2.8, é fruto das possibilidades técnicas do concreto armado e da genialidade do engenheiro Joaquim Cardozo, que elaborou o cálculo estrutural na época de sua construção. Os 21 hiperbolóides de 40m de altura, inicialmente propostos por Niemeyer, foram reduzidos, por questões de estética, para 16 pilares de 30 m. Da mesma forma, o anel de concreto de base, imaginado inicialmente com 70m de diâmetro, apoiado no chão e…

modelos permite a visualização cinética de várias superfícies através da rotação de uma geratriz em torno de um eixo vertical. Concretamente torna-se possível ver e entender o modo como é gerado um plano, um cilindro, um cone, uma esfera, um hiperbolóide (dois modelos de uma folha e um modelo de duas folhas), um parabolóide, um elipsóide e um toro. MODELO L Este modelo é um acessório do modelo A tendo sido concebido para visualizar a rotação de uma recta. MODELO M Modelo…

aplicações à óptica e a construção de espelhos parabólicos. Órbita dos planetas. A parábola ao rodar em torno do seu eixo de simetria gera uma superfície parabólica ou parabolóide. As propriedades refletoras são geradas por cônicas, parabolóides, hiperbolóides e elipsóides; estas são usadas, por exemplo, nos espelhos e antenas parabólicas ou para criar condições acústicas especiais em auditórios, teatros, catedrais. Espelhos parabólicos uma fonte luminosa no foco produz um feixe de…

2 + y 3z 2 – 76 em P( 1, 2, 3 ) b) ƒ( x, y ) = x 2y – 3, em P( 2, 1 ) c) xyz + x 3 + z 3 = 3z, em P( 1, – 1, 2 ) d) g( x, y ) = x 2 – y ³, em P( – 2, 2 ) e) 9x 2 + 36y 2 + 4z 2 = 108 , em P( – 2, 1, – 3 ) 2. Determine os pontos da hiperbolóide x 2 – 2y2 – 4z2 = 16 em que o plano tangente é paralelo ao plano 4x – 2y + 4z = 5. 3. Para cada uma das superfícies abaixo, encontre a equação de um vetor perpendicular à superfície no ponto P indicado. a) x 2 + y 2 +z 2 = 9 ; P( 1, 2, 2 )